全体集合 $U$ を 12 以下の正の整数全体の集合、部分集合 $A$ を $A = \{2, 4, 6, 8, 10, 12\}$、部分集合 $B$ を $B = \{3, 6, 9, 12\}$ とするとき、以下の集合を要素を書き並べて表す。 (1) $\overline{A}$ (2) $A \cap B$ (3) $\overline{A \cup B}$ (4) $A \cap \overline{B}$

1. 問題の内容

全体集合 $U$ を 12 以下の正の整数全体の集合、部分集合 $A$ を $A = \{2, 4, 6, 8, 10, 12\}$、部分集合 $B$ を $B = \{3, 6, 9, 12\}$ とするとき、以下の集合を要素を書き並べて表す。

(1) $\overline{A}$

(2) $A \cap B$

(3) $\overline{A \cup B}$

(4) $A \cap \overline{B}$

2. 解き方の手順

まず、全体集合 $U$ を書き出す。

$U = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12\}$

(1) $\overline{A}$ は $U$ の中で $A$ に含まれない要素の集合である。

$\overline{A} = \{x \in U | x \notin A\}$

$\overline{A} = \{1, 3, 5, 7, 9, 11\}$

(2) $A \cap B$ は $A$ と $B$ の両方に含まれる要素の集合である。

$A \cap B = \{x | x \in A \text{ and } x \in B\}$

$A \cap B = \{6, 12\}$

(3) $A \cup B$ は $A$ または $B$ に含まれる要素の集合である。

$A \cup B = \{x | x \in A \text{ or } x \in B\}$

$A \cup B = \{2, 3, 4, 6, 8, 9, 10, 12\}$

$\overline{A \cup B}$ は $U$ の中で $A \cup B$ に含まれない要素の集合である。

$\overline{A \cup B} = \{x \in U | x \notin A \cup B\}$

$\overline{A \cup B} = \{1, 5, 7, 11\}$

(4) $\overline{B}$ は $U$ の中で $B$ に含まれない要素の集合である。

$\overline{B} = \{x \in U | x \notin B\}$

$\overline{B} = \{1, 2, 4, 5, 7, 8, 10, 11\}$

$A \cap \overline{B}$ は $A$ と $\overline{B}$ の両方に含まれる要素の集合である。

$A \cap \overline{B} = \{x | x \in A \text{ and } x \in \overline{B}\}$

$A \cap \overline{B} = \{2, 4, 8, 10\}$

3. 最終的な答え

(1) $\overline{A} = \{1, 3, 5, 7, 9, 11\}$

(2) $A \cap B = \{6, 12\}$

(3) $\overline{A \cup B} = \{1, 5, 7, 11\}$

(4) $A \cap \overline{B} = \{2, 4, 8, 10\}$