1から200までの整数の集合を全体集合とするとき、以下の部分集合の要素の個数を求めます。 (1) 3の倍数かつ5の倍数の集合 (2) 3の倍数または5の倍数の集合 (3) 3の倍数でも5の倍数でもない数の集合

1. 問題の内容

1から200までの整数の集合を全体集合とするとき、以下の部分集合の要素の個数を求めます。

(1) 3の倍数かつ5の倍数の集合

(2) 3の倍数または5の倍数の集合

(3) 3の倍数でも5の倍数でもない数の集合

2. 解き方の手順

(1) 3の倍数かつ5の倍数の集合

3の倍数かつ5の倍数である数は、3と5の最小公倍数である15の倍数です。

1から200までの15の倍数の個数は、

$\lfloor \frac{200}{15} \rfloor = 13$

となります。ここで $\lfloor x \rfloor$ は $x$ を超えない最大の整数（床関数）を表します。

(2) 3の倍数または5の倍数の集合

まず、1から200までの3の倍数の個数は、

$\lfloor \frac{200}{3} \rfloor = 66$

1から200までの5の倍数の個数は、

$\lfloor \frac{200}{5} \rfloor = 40$

3の倍数かつ5の倍数（15の倍数）の個数は、(1)で求めたように13個です。

3の倍数または5の倍数の個数は、包含と排除の原理を用いて、

(3の倍数の個数) + (5の倍数の個数) - (3の倍数かつ5の倍数の個数)

で求められます。

したがって、

$66 + 40 - 13 = 93$

となります。

(3) 3の倍数でも5の倍数でもない数の集合

全体集合の要素数は200です。

3の倍数または5の倍数の数は(2)で求めたように93個です。

したがって、3の倍数でも5の倍数でもない数の個数は、

(全体集合の要素数) - (3の倍数または5の倍数の数)

で求められます。

$200 - 93 = 107$

となります。

3. 最終的な答え

(1) 13

(2) 93

(3) 107