次の不等式を解く。 (1) $\log_2(x-2) < 1 + \log_{\frac{1}{2}}(x-4)$ (2) $(\log_2 x)^2 - \log_2 4x > 0$

1. 問題の内容

次の不等式を解く。

(1) $\log_2(x-2) < 1 + \log_{\frac{1}{2}}(x-4)$

(2) $(\log_2 x)^2 - \log_2 4x > 0$

2. 解き方の手順

(1) $\log_2(x-2) < 1 + \log_{\frac{1}{2}}(x-4)$

真数条件より、$x-2 > 0$ かつ $x-4 > 0$。したがって $x > 4$。

$\log_{\frac{1}{2}}(x-4) = \frac{\log_2 (x-4)}{\log_2 \frac{1}{2}} = \frac{\log_2 (x-4)}{-1} = -\log_2 (x-4)$

不等式は次のように書き換えられる。

$\log_2 (x-2) < 1 - \log_2 (x-4)$

$\log_2 (x-2) + \log_2 (x-4) < 1$

$\log_2 ((x-2)(x-4)) < 1$

$\log_2 (x^2 - 6x + 8) < \log_2 2$

底が2で1より大きいので、真数を比較して

$x^2 - 6x + 8 < 2$

$x^2 - 6x + 6 < 0$

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36-24}}{2} = \frac{6 \pm \sqrt{12}}{2} = \frac{6 \pm 2\sqrt{3}}{2} = 3 \pm \sqrt{3}$

$3 - \sqrt{3} < x < 3 + \sqrt{3}$

$\sqrt{3} \approx 1.732$ より $3 - \sqrt{3} \approx 1.268$, $3 + \sqrt{3} \approx 4.732$。

真数条件より $x > 4$ なので、$4 < x < 3 + \sqrt{3}$。

(2) $(\log_2 x)^2 - \log_2 4x > 0$

真数条件より、$x > 0$。

$\log_2 4x = \log_2 4 + \log_2 x = 2 + \log_2 x$

$(\log_2 x)^2 - (2 + \log_2 x) > 0$

$(\log_2 x)^2 - \log_2 x - 2 > 0$

$(\log_2 x - 2)(\log_2 x + 1) > 0$

$\log_2 x < -1$ または $\log_2 x > 2$

$x < 2^{-1}$ または $x > 2^2$

$x < \frac{1}{2}$ または $x > 4$

真数条件より $x > 0$ なので、$0 < x < \frac{1}{2}$ または $x > 4$。

3. 最終的な答え

(1) $4 < x < 3 + \sqrt{3}$

(2) $0 < x < \frac{1}{2}$ または $x > 4$