与えられた3つの2次関数について、それぞれのグラフとx軸との共有点の個数を求めます。 (1) $y=x^2+3x+3$ (2) $y=-2x^2+5x+1$ (3) $y=\frac{1}{2}x^2-2x+2$

代数学二次関数判別式グラフ共有点
2025/7/16

1. 問題の内容

与えられた3つの2次関数について、それぞれのグラフとx軸との共有点の個数を求めます。
(1) y=x2+3x+3y=x^2+3x+3
(2) y=2x2+5x+1y=-2x^2+5x+1
(3) y=12x22x+2y=\frac{1}{2}x^2-2x+2

2. 解き方の手順

2次関数y=ax2+bx+cy=ax^2+bx+cのグラフとx軸との共有点の個数は、2次方程式ax2+bx+c=0ax^2+bx+c=0の実数解の個数に等しく、判別式D=b24acD = b^2 - 4acによって決まります。
- D>0D>0 のとき、共有点は2個
- D=0D=0 のとき、共有点は1個
- D<0D<0 のとき、共有点は0個
(1) y=x2+3x+3y=x^2+3x+3 の場合:
a=1a=1, b=3b=3, c=3c=3 なので、判別式は
D=32413=912=3D = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3 = 9 - 12 = -3
D<0D<0 なので、共有点は0個
(2) y=2x2+5x+1y=-2x^2+5x+1 の場合:
a=2a=-2, b=5b=5, c=1c=1 なので、判別式は
D=524(2)1=25+8=33D = 5^2 - 4 \cdot (-2) \cdot 1 = 25 + 8 = 33
D>0D>0 なので、共有点は2個
(3) y=12x22x+2y=\frac{1}{2}x^2-2x+2 の場合:
a=12a=\frac{1}{2}, b=2b=-2, c=2c=2 なので、判別式は
D=(2)24122=44=0D = (-2)^2 - 4 \cdot \frac{1}{2} \cdot 2 = 4 - 4 = 0
D=0D=0 なので、共有点は1個

3. 最終的な答え

(1) 0個
(2) 2個
(3) 1個

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