与えられた行列の逆行列を求める問題です。 (1) は $2 \times 2$ 行列、(2) は $3 \times 3$ 行列です。

1. 問題の内容

与えられた行列の逆行列を求める問題です。

(1) は $2 \times 2$ 行列、(2) は $3 \times 3$ 行列です。

2. 解き方の手順

(1)

与えられた行列を $A = \begin{pmatrix} 1 & 3 \\ -1 & 2 \end{pmatrix}$ とします。

$2 \times 2$ 行列の逆行列は、行列式を $D$ とすると、

$A^{-1} = \frac{1}{D} \begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix}$

で求められます。ここで、$A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$ です。

$D = (1)(2) - (3)(-1) = 2 + 3 = 5$

よって、

$A^{-1} = \frac{1}{5} \begin{pmatrix} 2 & -3 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2/5 & -3/5 \\ 1/5 & 1/5 \end{pmatrix}$

(2)

与えられた行列を $B = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & -1 \\ 2 & 2 & 3 \end{pmatrix}$ とします。

逆行列を求めるために、拡大行列 $(B | I)$ を作り、基本変形を行って$(I | B^{-1})$ の形にします。

$\begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 &|& 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & -1 &|& 0 & 1 & 0 \\ 2 & 2 & 3 &|& 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

3行目から1行目の2倍を引きます。

$\begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 &|& 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & -1 &|& 0 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & 1 &|& -2 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

3行目から2行目の2倍を引きます。

$\begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 &|& 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & -1 &|& 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 3 &|& -2 & -2 & 1 \end{pmatrix}$

3行目を3で割ります。

$\begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 &|& 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & -1 &|& 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 &|& -2/3 & -2/3 & 1/3 \end{pmatrix}$

1行目から3行目を引きます。

2行目に3行目を足します。

$\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 &|& 5/3 & 2/3 & -1/3 \\ 0 & 1 & 0 &|& -2/3 & 1/3 & 1/3 \\ 0 & 0 & 1 &|& -2/3 & -2/3 & 1/3 \end{pmatrix}$

よって、

$B^{-1} = \begin{pmatrix} 5/3 & 2/3 & -1/3 \\ -2/3 & 1/3 & 1/3 \\ -2/3 & -2/3 & 1/3 \end{pmatrix} = \frac{1}{3} \begin{pmatrix} 5 & 2 & -1 \\ -2 & 1 & 1 \\ -2 & -2 & 1 \end{pmatrix}$

3. 最終的な答え

(1) $A^{-1} = \begin{pmatrix} 2/5 & -3/5 \\ 1/5 & 1/5 \end{pmatrix}$

(2) $B^{-1} = \frac{1}{3} \begin{pmatrix} 5 & 2 & -1 \\ -2 & 1 & 1 \\ -2 & -2 & 1 \end{pmatrix}$