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与えられた式 $4x^2 - y^2 + 2y - 1$ を因数分解してください。

代数学因数分解多項式平方完成二次式
2025/4/13

1. 問題の内容

与えられた式 4x2−y2+2y−14x^2 - y^2 + 2y - 1 を因数分解してください。

2. 解き方の手順

まず、yyに関する部分をまとめて、平方完成の形にすることを考えます。
−y2+2y−1=−(y2−2y+1)-y^2 + 2y - 1 = -(y^2 - 2y + 1)
より、
−y2+2y−1=−(y−1)2-y^2 + 2y - 1 = -(y-1)^2
となります。
したがって、与えられた式は、
4x2−(y−1)24x^2 - (y-1)^2
となります。
ここで、4x2=(2x)24x^2 = (2x)^2であることに注意すると、これは、a2−b2a^2 - b^2の形をしているので、因数分解の公式
a2−b2=(a+b)(a−b)a^2 - b^2 = (a+b)(a-b)
を利用できます。
a=2xa = 2x, b=y−1b = y-1とおくと、
4x2−(y−1)2=(2x+(y−1))(2x−(y−1))=(2x+y−1)(2x−y+1)4x^2 - (y-1)^2 = (2x + (y-1))(2x - (y-1)) = (2x + y - 1)(2x - y + 1)
となります。

3. 最終的な答え

(2x+y−1)(2x−y+1)(2x+y-1)(2x-y+1)

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