与えられた2つの式を因数分解する問題です。 (1) $a^2(b-c)+b^2(c-a)+c^2(a-b)$ (2) $(a+b)(b+c)(c+a)+abc$

1. 問題の内容

与えられた2つの式を因数分解する問題です。

(1) $a^2(b-c)+b^2(c-a)+c^2(a-b)$

(2) $(a+b)(b+c)(c+a)+abc$

2. 解き方の手順

(1)

まず、式を展開します。

$a^2(b-c)+b^2(c-a)+c^2(a-b) = a^2b - a^2c + b^2c - ab^2 + c^2a - bc^2$

次に、式を整理します。$a$ について整理すると、

$a^2(b-c) - a(b^2-c^2) + (b^2c - bc^2) = a^2(b-c) - a(b+c)(b-c) + bc(b-c)$

$(b-c)$ でくくると、

$(b-c)(a^2 - a(b+c) + bc) = (b-c)(a-b)(a-c)$

さらに整理すると、

$-(a-b)(b-c)(c-a)$

(2)

式を展開します。

$(a+b)(b+c)(c+a) + abc = (ab+ac+b^2+bc)(c+a) + abc = abc + a^2b + ac^2 + a^2c + b^2c + ab^2 + bc^2 + abc + abc = a^2b + a^2c + b^2a + b^2c + c^2a + c^2b + 3abc$

式を整理します。$a$ について整理すると、

$a^2(b+c) + a(b^2+3bc+c^2) + bc(b+c)$

たすき掛けを試みます。

$a^2(b+c) + a(b^2+3bc+c^2) + bc(b+c) = (a+b)(a+c)(b+c) = (a+b)(b+c)(c+a)$

$a^2(b+c) + a(b^2+3bc+c^2) + bc(b+c)$

$= (a+b)(a(b+c) + c(b+c)) + abc$

$= (a+b)(ac + bc + ab + c^2) + abc$

$= a^2c + abc + a^2b + ac^2 + abc + b^2c + ab^2 + bc^2 + abc = a^2b + a^2c + ab^2 + ac^2 + b^2c + bc^2 + 3abc$

$(a+b)(b+c)(c+a)= (a+b)(bc+ab+c^2+ac)$

$abc+a^2b+ac^2+a^2c+b^2c+ab^2+bc^2+abc+abc$

$a^2b+a^2c+ab^2+ac^2+b^2c+bc^2+3abc$

$(a+b)(b+c)(c+a) + abc = a^2b + a^2c + b^2a + b^2c + c^2a + c^2b + 3abc + abc = a^2b + a^2c + b^2a + b^2c + c^2a + c^2b + 4abc$

$= (a+b)(b+c)(c+a)$

3. 最終的な答え

(1) $-(a-b)(b-c)(c-a)$

(2) $(a+b)(b+c)(c+a)$