$a>0$ とする。 $-3 \le x \le 3$ における関数 $f(x)$ の最大値を $M$, 最小値を $m$ とする。 $a$ の値によって場合分けをし、$M-m$ を $a$ の式で表す。 また、$M=10$, $m=-6$ となるような $a, b$ の値を求める。 ただし、$f(x) = ax^2 + b$ であると仮定する。

1. 問題の内容

$a>0$ とする。 $-3 \le x \le 3$ における関数 $f(x)$ の最大値を $M$, 最小値を $m$ とする。

$a$ の値によって場合分けをし、$M-m$ を $a$ の式で表す。

また、$M=10$, $m=-6$ となるような $a, b$ の値を求める。

ただし、$f(x) = ax^2 + b$ であると仮定する。

2. 解き方の手順

まず、$f(x) = ax^2 + b$ のグラフは下に凸の放物線である。定義域 $-3 \le x \le 3$ において、軸 $x=0$ は定義域に含まれているので、最小値は $f(0) = b$ となる。つまり、$m = b$ である。

最大値 $M$ は、$x=-3$ または $x=3$ のいずれかでとる。$f(-3) = f(3) = 9a + b$ なので、$M = 9a + b$ である。

したがって、$M - m = (9a + b) - b = 9a$ となる。

次に、$M=10$, $m=-6$ のとき、$9a+b=10$ かつ $b=-6$ である。

$9a - 6 = 10$ より、$9a = 16$ となるので、$a = \frac{16}{9}$ である。

3. 最終的な答え

$M - m = 9a$

$a = \frac{16}{9}$, $b = -6$