不等式 $5(x-4)(3x+7) > 0$ を解く。

1. 問題の内容

不等式 $5(x-4)(3x+7) > 0$ を解く。

2. 解き方の手順

まず、与えられた不等式は $5(x-4)(3x+7) > 0$ である。

定数5は正なので、両辺を5で割っても不等号の向きは変わらない。したがって、

$(x-4)(3x+7) > 0$

この不等式を満たす $x$ の範囲を求める。

まず、$x-4 = 0$ となる $x$ の値は $x = 4$ である。

次に、$3x+7 = 0$ となる $x$ の値は $3x = -7$ より $x = -\frac{7}{3}$ である。

$x = -\frac{7}{3}$ と $x = 4$ を数直線上に配置すると、数直線は3つの区間に分割される。

区間1: $x < -\frac{7}{3}$

区間2: $-\frac{7}{3} < x < 4$

区間3: $x > 4$

各区間について $(x-4)(3x+7)$ の符号を調べる。

* 区間1: $x < -\frac{7}{3}$ のとき、$x-4 < 0$ かつ $3x+7 < 0$ であるから、$(x-4)(3x+7) > 0$ である。

* 区間2: $-\frac{7}{3} < x < 4$ のとき、$x-4 < 0$ かつ $3x+7 > 0$ であるから、$(x-4)(3x+7) < 0$ である。

* 区間3: $x > 4$ のとき、$x-4 > 0$ かつ $3x+7 > 0$ であるから、$(x-4)(3x+7) > 0$ である。

したがって、不等式 $(x-4)(3x+7) > 0$ を満たす $x$ の範囲は、$x < -\frac{7}{3}$ または $x > 4$ である。

3. 最終的な答え

$x < -\frac{7}{3}, x > 4$