$\log_3 64$ の値を求めます。

1. 問題の内容

$\log_3 64$ の値を求めます。

2. 解き方の手順

$\log_3 64$ は、$3$ を何乗すれば $64$ になるかを表しています。

$64 = 2^6$ ですが、$2$ を $3$ の累乗で表すことは難しいです。

ここでは、対数の性質を利用して解く方法を考えます。

$x = \log_3 64$ とおくと、

$3^x = 64$

となります。

両辺の対数を取ります。底は何でも良いですが、常用対数(底が10の対数)を取ることにします。

$\log_{10} (3^x) = \log_{10} 64$

対数の性質より、$x \log_{10} 3 = \log_{10} 64$ となります。

したがって、$x = \frac{\log_{10} 64}{\log_{10} 3}$ です。

$\log_{10} 64 = \log_{10} 2^6 = 6 \log_{10} 2$ です。

$x = \frac{6 \log_{10} 2}{\log_{10} 3}$

$\log_{10} 2 \approx 0.3010$, $\log_{10} 3 \approx 0.4771$ を用いると、

$x \approx \frac{6 \times 0.3010}{0.4771} = \frac{1.806}{0.4771} \approx 3.785$

したがって、$3^{3.785} \approx 64$ となります。

別の解き方として、$64 = 4^3$ であることを利用して、底の変換公式を使う方法もあります。

$\log_3 64 = \log_3 (4^3) = 3 \log_3 4$

正確な値を求めるのではなく、おおよその値を求める問題と解釈します。

$3^3 = 27$

$3^4 = 81$

したがって、$\log_3 64$ は $3$ と $4$ の間の値であることがわかります。先ほどの計算結果とも矛盾しません。

3. 最終的な答え

$\log_3 64 = \frac{6 \log_{10} 2}{\log_{10} 3} \approx 3.785$