問題は、実数 $t$ をパラメータとする直線 $l: y = (2t+1)x - t^2$ について、以下の問いに答えるものです。 (1) 直線 $l$ が点 $(0, 0)$, $(0, 10)$, $(0, -10)$ を通るような $t$ が存在するかどうかを調べます。 (2) $t$ が $-1 \le t \le 0$ の範囲で変化するとき、直線 $l$ が通る点 $(x, y)$ 全体の集合 $D$ を考えます。点 $(a, b)$ が $D$ に含まれる条件を、2次方程式 $t^2 - (2a-1)t + b = 0$ が $-1 \le t \le 0$ の範囲に解を持つ条件として捉えます。 (3) (2)で得られた条件を満たす領域 $D$ を図示します。

1. 問題の内容

問題は、実数 $t$ をパラメータとする直線 $l: y = (2t+1)x - t^2$ について、以下の問いに答えるものです。

(1) 直線 $l$ が点 $(0, 0)$, $(0, 10)$, $(0, -10)$ を通るような $t$ が存在するかどうかを調べます。

(2) $t$ が $-1 \le t \le 0$ の範囲で変化するとき、直線 $l$ が通る点 $(x, y)$ 全体の集合 $D$ を考えます。点 $(a, b)$ が $D$ に含まれる条件を、2次方程式 $t^2 - (2a-1)t + b = 0$ が $-1 \le t \le 0$ の範囲に解を持つ条件として捉えます。

(3) (2)で得られた条件を満たす領域 $D$ を図示します。

2. 解き方の手順

(1)

(i) 直線 $l$ が点 $(0, 0)$ を通るとき、 $0 = (2t+1)(0) - t^2$ より $t^2 = 0$ となり、$t = 0$。よって、直線 $l$ は点 $(0, 0)$ を通るような $t$ が存在します。

(ii) 直線 $l$ が点 $(0, 10)$ を通るとき、$10 = (2t+1)(0) - t^2$ より $t^2 = -10$ となり、$t = \pm \sqrt{-10}$。これは実数解を持たないので、直線 $l$ は点 $(0, 10)$ を通るような $t$ は存在しません。

(iii) 直線 $l$ が点 $(0, -10)$ を通るとき、 $-10 = (2t+1)(0) - t^2$ より $t^2 = 10$ となり、$t = \pm \sqrt{10}$。よって、直線 $l$ は点 $(0, -10)$ を通るような $t$ が存在します。

したがって、(i) 正、(ii) 誤、(iii) 正 なので、アの解答は (4) となります。

(2)

点 $(a, b)$ が $D$ に含まれる条件は、2次方程式 $t^2 - (2a-1)t + b = 0$ が $-1 \le t \le 0$ の範囲に少なくとも一つの実数解を持つことです。したがって、イの解答は (1) となります。

(3)

$y = (2t+1)x - t^2$ より $t^2 - (2x)t + (y-x) = 0$

これを $t$ の2次方程式と見て判別式を $D$ とすると

$D = (2x)^2 - 4(y-x) = 4x^2 - 4y + 4x \ge 0$

$y \le x^2 + x = (x+\frac{1}{2})^2 - \frac{1}{4}$

また$f(t)=(2t+1)x-t^2=-(t-\frac{2x+1}{2})^2+x^2+x$

$y = f(t)$と置くと

このグラフの頂点$(\frac{2x+1}{2},x^2+x)$

$f(-1)=-2x-1, f(0)=x$

$y = (2t+1)x - t^2$ から $t$ を消去します。

$y = x(2t+1) - t^2$ を $t$ について解くと、

$t^2 - 2xt + (y-x) = 0$ となります。

$t = \frac{2x \pm \sqrt{4x^2 - 4(y-x)}}{2} = x \pm \sqrt{x^2+x-y}$

$-1 \le x - \sqrt{x^2+x-y} \le 0$ かつ $-1 \le x + \sqrt{x^2+x-y} \le 0$ を満たす必要があります。

また直線 $l$ と放物線 $y = x^2+x$ は接しており、接点の $x$ 座標を表しています。

$t = \frac{2x+1}{2}$, $y=x^2+x$, $-1 \le t \le 0$ より $-\frac{1}{2}\le x \le 0$

よって(4)が正解

3. 最終的な答え

ア: (4)

イ: (1)

テ: (4)