方程式 $x = \cos x$ が、区間 $0 < x < \frac{\pi}{2}$ の範囲に少なくとも1つの実数解をもつことを示す問題です。$f(x) = x - \cos x$ とおき、$f(x)$ が閉区間 $[0, \frac{\pi}{2}]$ で連続であること、および $f(0) < 0$、$f(\frac{\pi}{2}) > 0$ であることを利用して、中間値の定理から実数解の存在を示します。問題文中の空欄を埋める必要があります。

1. 問題の内容

方程式 $x = \cos x$ が、区間 $0 < x < \frac{\pi}{2}$ の範囲に少なくとも1つの実数解をもつことを示す問題です。$f(x) = x - \cos x$ とおき、$f(x)$ が閉区間 $[0, \frac{\pi}{2}]$ で連続であること、および $f(0) < 0$、$f(\frac{\pi}{2}) > 0$ であることを利用して、中間値の定理から実数解の存在を示します。問題文中の空欄を埋める必要があります。

2. 解き方の手順

まず、$f(x) = x - \cos x$ において、$x = \frac{\pi}{2}$ を代入します。

$f(\frac{\pi}{2}) = \frac{\pi}{2} - \cos(\frac{\pi}{2})$

$\cos(\frac{\pi}{2}) = 0$ なので、

$f(\frac{\pi}{2}) = \frac{\pi}{2} - 0 = \frac{\pi}{2}$

$\frac{\pi}{2} > 0$ であることが分かります。

したがって、$f(\frac{\pi}{2}) = \frac{\pi}{2} > 0$ となります。

$f(0) = -1 < 0$ であり、$f(\frac{\pi}{2}) = \frac{\pi}{2} > 0$ なので、中間値の定理より、区間 $(0, \frac{\pi}{2})$ に少なくとも1つの実数解が存在します。

3. 最終的な答え

$\frac{\pi}{2}$