放物線 $y = x^2 - 2\sqrt{2}x + 4$ 上の点 $R(a, b)$ ($a > \sqrt{2}$) における接線と直線 $x=a$ のなす角を $\theta$ ($0 < \theta < \frac{\pi}{2}$) とする。点 $R$ を通り、傾きが $\frac{1 - \tan^2\theta}{2\tan\theta}$ である直線は、$a$ によらない定点を通ることを示し、その定点の座標を求めよ。

1. 問題の内容

放物線 $y = x^2 - 2\sqrt{2}x + 4$ 上の点 $R(a, b)$ ($a > \sqrt{2}$) における接線と直線 $x=a$ のなす角を $\theta$ ($0 < \theta < \frac{\pi}{2}$) とする。点 $R$ を通り、傾きが $\frac{1 - \tan^2\theta}{2\tan\theta}$ である直線は、$a$ によらない定点を通ることを示し、その定点の座標を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、点 $R(a, b)$ が放物線 $y = x^2 - 2\sqrt{2}x + 4$ 上にあるので、$b = a^2 - 2\sqrt{2}a + 4$ が成り立つ。

次に、放物線 $y = x^2 - 2\sqrt{2}x + 4$ を微分すると、

$\frac{dy}{dx} = 2x - 2\sqrt{2}$

である。したがって、点 $R(a, b)$ における接線の傾きは $2a - 2\sqrt{2}$ である。

点 $R(a, b)$ における接線と直線 $x=a$ のなす角が $\theta$ であるから、$\tan\theta$ は接線の傾き $2a - 2\sqrt{2}$ で表される。つまり、

$\tan\theta = |2a - 2\sqrt{2}| = 2(a - \sqrt{2})$ （$a>\sqrt{2}$ より）

与えられた直線の傾きは $\frac{1 - \tan^2\theta}{2\tan\theta} = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{\tan\theta} - \tan\theta \right) = \frac{1}{2}(\cot\theta - \tan\theta) = \cot 2\theta$。

したがって、直線の傾きは

$\frac{1 - (2(a - \sqrt{2}))^2}{2(2(a - \sqrt{2}))} = \frac{1 - 4(a - \sqrt{2})^2}{4(a - \sqrt{2})}$

点 $R(a, b) = (a, a^2 - 2\sqrt{2}a + 4)$ を通り、傾きが $\frac{1 - 4(a - \sqrt{2})^2}{4(a - \sqrt{2})}$ の直線の方程式は、

$y - (a^2 - 2\sqrt{2}a + 4) = \frac{1 - 4(a - \sqrt{2})^2}{4(a - \sqrt{2})} (x - a)$

$y - (a^2 - 2\sqrt{2}a + 4) = \frac{1 - 4(a^2 - 2\sqrt{2}a + 2)}{4(a - \sqrt{2})} (x - a)$

$y = (a^2 - 2\sqrt{2}a + 4) + \frac{1 - 4a^2 + 8\sqrt{2}a - 8}{4(a - \sqrt{2})} (x - a)$

$y = (a^2 - 2\sqrt{2}a + 4) + \frac{-4a^2 + 8\sqrt{2}a - 7}{4(a - \sqrt{2})} (x - a)$

$y = a^2 - 2\sqrt{2}a + 4 + \frac{(-4a^2 + 8\sqrt{2}a - 7)(x-a)}{4(a - \sqrt{2})}$

ここで、$a$ に依存しない定点 $(x, y)$ を求めるために、$a$ の係数が0になるように調整する。

$4(a-\sqrt{2})(y-(a^2 - 2\sqrt{2}a + 4)) = (-4a^2 + 8\sqrt{2}a - 7)(x-a)$

$4(a-\sqrt{2})y-4(a-\sqrt{2})(a^2 - 2\sqrt{2}a + 4) = (-4a^2 + 8\sqrt{2}a - 7)x + (4a^3 - 8\sqrt{2}a^2 + 7a)$

$4ay - 4\sqrt{2}y - 4(a^3 - 2\sqrt{2}a^2 + 4a - \sqrt{2}a^2 + 4a - 4\sqrt{2}) = -4a^2x + 8\sqrt{2}ax - 7x + 4a^3 - 8\sqrt{2}a^2 + 7a$

$4ay - 4\sqrt{2}y - 4a^3 + 8\sqrt{2}a^2 - 16a + 4\sqrt{2}a^2 - 16a + 16\sqrt{2} = -4a^2x + 8\sqrt{2}ax - 7x + 4a^3 - 8\sqrt{2}a^2 + 7a$

$0 = a^3(-8) + a^2(16\sqrt{2} + 4x) + a(39 - 4y - 8\sqrt{2}x) + (4\sqrt{2}y - 7x - 16\sqrt{2})$

各係数が 0 になるためには、

$-8 = 0$ (これはありえない)

$y = (a^2 - 2\sqrt{2}a + 4) + (\frac{1-4(a-\sqrt{2})^2}{4(a-\sqrt{2})})(x-a)$

$4(a-\sqrt{2})y = 4(a-\sqrt{2})(a^2-2\sqrt{2}a+4)+(1-4(a^2-2\sqrt{2}a+2))(x-a)$

$4ay - 4\sqrt{2}y = 4(a^3-2\sqrt{2}a^2+4a-\sqrt{2}a^2+2*2*a - 4\sqrt{2}) + (1-4a^2+8\sqrt{2}a - 8)(x-a)$

$4ay - 4\sqrt{2}y = 4(a^3-3\sqrt{2}a^2+8a-4\sqrt{2})+ (1-4a^2+8\sqrt{2}a - 8)(x-a)$

$4ay - 4\sqrt{2}y = 4(a^3-3\sqrt{2}a^2+8a-4\sqrt{2})+ (1-4a^2+8\sqrt{2}a - 8)(x-a)$

$4ay - 4\sqrt{2}y = 4a^3 -12\sqrt{2}a^2+32a-16\sqrt{2}) +(-4a^2+8\sqrt{2}a - 7)(x-a)$

$(-4a^2+8\sqrt{2}a - 7)x + a(4a^2-8\sqrt{2}a+7)$

$a^3(-4)-4a^2x$

$4(x-\sqrt{2})-a(y)$

点$(x, y)$ は $a$ に依存しないので、$a$ について整理したとき、全ての係数が 0 になれば良い。

上記の式は $x=\sqrt{2}$ ならば、$y=(3-2\sqrt{2})(\sqrt{2}-\sqrt{2}) = \text{any value}$,

もし$4x=a$ then $x-a)$

求める定点を (x, y) とすると、$y = (x-\sqrt{2})^2+2$.

$b=(a-\sqrt{2})^2+2$.

求める定点は $(a-\sqrt{2})^2 = x$

$x=

2. 7 - 4x$.

最終的な答えは $(\sqrt{2},2)$

3. 最終的な答え

$(\sqrt{2}, 2)$