この問題は、以下の5つの項目から構成されています。 1. 極限を求める問題が2問。

1. 問題の内容

この問題は、以下の5つの項目から構成されています。

1. 極限を求める問題が2問。

2. 導関数を求める問題が2問。

3. 微分を求める問題が4問。

4. 不定積分を求める問題が6問。

5. 定積分を求める問題が1問。

2. 解き方の手順

(1) 極限

1. (1) $\lim_{x \to 2} \frac{x^2 - 3x + 2}{x^2 - 4}$:

まず、分子と分母を因数分解します。

$x^2 - 3x + 2 = (x - 1)(x - 2)$

$x^2 - 4 = (x - 2)(x + 2)$

したがって、

$\lim_{x \to 2} \frac{(x - 1)(x - 2)}{(x - 2)(x + 2)} = \lim_{x \to 2} \frac{x - 1}{x + 2} = \frac{2 - 1}{2 + 2} = \frac{1}{4}$

2. (2) $\lim_{x \to \infty} \frac{(2x + 1)(x - 1)}{x^3 + x - 1}$:

分子を展開します。

$(2x + 1)(x - 1) = 2x^2 - 2x + x - 1 = 2x^2 - x - 1$

したがって、

$\lim_{x \to \infty} \frac{2x^2 - x - 1}{x^3 + x - 1}$

分子と分母を$x^3$で割ります。

$\lim_{x \to \infty} \frac{\frac{2}{x} - \frac{1}{x^2} - \frac{1}{x^3}}{1 + \frac{1}{x^2} - \frac{1}{x^3}} = \frac{0 - 0 - 0}{1 + 0 - 0} = 0$

(2) 導関数

1. (1) $f(x) = \frac{2}{3}x^3 + \frac{1}{2}x - 1$:

$f'(x) = \frac{2}{3}(3x^2) + \frac{1}{2} = 2x^2 + \frac{1}{2}$

2. (2) $f(x) = (3x + 2)^4$:

$f'(x) = 4(3x + 2)^3 \cdot 3 = 12(3x + 2)^3$

(3) 微分

1. (1) $y = xe^{-x}$:

$y' = e^{-x} + x(-e^{-x}) = e^{-x} - xe^{-x} = e^{-x}(1 - x)$

2. (2) $y = e^{2x} \sin x$:

$y' = 2e^{2x} \sin x + e^{2x} \cos x = e^{2x}(2 \sin x + \cos x)$

3. (3) $y = \frac{\log x}{x}$:

$y' = \frac{\frac{1}{x} \cdot x - \log x \cdot 1}{x^2} = \frac{1 - \log x}{x^2}$

4. (4) $y = \frac{(x + 3)^2 (x - 5)^3}{(x - 1)^4}$:

$\log y = 2\log(x+3) + 3\log(x-5) - 4\log(x-1)$

$\frac{y'}{y} = \frac{2}{x+3} + \frac{3}{x-5} - \frac{4}{x-1}$

$y' = \frac{(x+3)^2(x-5)^3}{(x-1)^4} (\frac{2}{x+3} + \frac{3}{x-5} - \frac{4}{x-1})$

$y' = \frac{(x+3)^2(x-5)^3}{(x-1)^4} (\frac{2(x-5)(x-1) + 3(x+3)(x-1) - 4(x+3)(x-5)}{(x+3)(x-5)(x-1)})$

$y' = \frac{(x+3)(x-5)^2}{(x-1)^5} (2(x^2-6x+5) + 3(x^2+2x-3) - 4(x^2-2x-15))$

$y' = \frac{(x+3)(x-5)^2}{(x-1)^5} (2x^2-12x+10 + 3x^2+6x-9 - 4x^2+8x+60)$

$y' = \frac{(x+3)(x-5)^2(x^2+2x+61)}{(x-1)^5}$

(4) 不定積分

1. (1) $\int (2x^3 + 3x^2 - 4x + 5) dx = \frac{1}{2}x^4 + x^3 - 2x^2 + 5x + C$

2. (2) $\int \cos x dx = \sin x + C$

3. (3) $\int \frac{x}{x^2 + 1} dx = \frac{1}{2} \log (x^2 + 1) + C$

4. (4) $\int \frac{1}{\tan x} dx = \int \frac{\cos x}{\sin x} dx = \log |\sin x| + C$

5. (5) $\int xe^x dx$:

部分積分法を用います。$u = x$, $dv = e^x dx$ とすると、$du = dx$, $v = e^x$ です。

$\int xe^x dx = xe^x - \int e^x dx = xe^x - e^x + C = e^x(x-1) + C$

6. (6) $\int \log x dx$:

部分積分法を用います。$u = \log x$, $dv = dx$ とすると、$du = \frac{1}{x} dx$, $v = x$ です。

$\int \log x dx = x \log x - \int x \cdot \frac{1}{x} dx = x \log x - \int dx = x \log x - x + C$

(5) 定積分

1. $\int_0^2 (x^2 + x + 5) dx$:

$\int_0^2 (x^2 + x + 5) dx = [\frac{1}{3}x^3 + \frac{1}{2}x^2 + 5x]_0^2 = (\frac{1}{3}(2^3) + \frac{1}{2}(2^2) + 5(2)) - 0 = \frac{8}{3} + 2 + 10 = \frac{8}{3} + 12 = \frac{8 + 36}{3} = \frac{44}{3}$

3. 最終的な答え

1. (1) $\frac{1}{4}$, (2) $0$

2. (1) $2x^2 + \frac{1}{2}$, (2) $12(3x + 2)^3$

3. (1) $e^{-x}(1 - x)$, (2) $e^{2x}(2 \sin x + \cos x)$, (3) $\frac{1 - \log x}{x^2}$, (4) $\frac{(x+3)(x-5)^2(x^2+2x+61)}{(x-1)^5}$

4. (1) $\frac{1}{2}x^4 + x^3 - 2x^2 + 5x + C$, (2) $\sin x + C$, (3) $\frac{1}{2} \log (x^2 + 1) + C$, (4) $\log |\sin x| + C$, (5) $e^x(x-1) + C$, (6) $x \log x - x + C$

5. $\frac{44}{3}$