$\frac{77}{111}$ を小数で表したとき、小数第 $n$ 位にあらわれる数字を $a_n$ とする。$a_n$ を $n$ を用いた1つの式で表しなさい。

1. 問題の内容

$\frac{77}{111}$ を小数で表したとき、小数第 $n$ 位にあらわれる数字を $a_n$ とする。$a_n$ を $n$ を用いた1つの式で表しなさい。

2. 解き方の手順

まず、$\frac{77}{111}$ を小数で表すとどうなるか計算します。

$\frac{77}{111} = \frac{7}{10} + \frac{7}{100} + \frac{7}{1000} + ...$ ではありません。

$\frac{77}{111} = \frac{7 \times 11}{111} = \frac{7}{10.090...}$ でもありません。

実際に割り算を行うと、

$77 \div 111 = 0.693693693...$

となり、小数部分が $693$ の繰り返しとなることがわかります。

したがって、$a_n$ は $n$ を3で割った余りによって値が決まります。

$n \equiv 1 \pmod{3}$ のとき、$a_n = 6$

$n \equiv 2 \pmod{3}$ のとき、$a_n = 9$

$n \equiv 0 \pmod{3}$ のとき、$a_n = 3$

三角関数を用いて $a_n$ を表します。

$a_n = A\cos(\frac{2\pi n}{3}) + B\sin(\frac{2\pi n}{3}) + C$

$n = 1$ のとき、$a_1 = 6$ なので、

$6 = A\cos(\frac{2\pi}{3}) + B\sin(\frac{2\pi}{3}) + C = A(-\frac{1}{2}) + B(\frac{\sqrt{3}}{2}) + C$

$n = 2$ のとき、$a_2 = 9$ なので、

$9 = A\cos(\frac{4\pi}{3}) + B\sin(\frac{4\pi}{3}) + C = A(-\frac{1}{2}) + B(-\frac{\sqrt{3}}{2}) + C$

$n = 3$ のとき、$a_3 = 3$ なので、

$3 = A\cos(2\pi) + B\sin(2\pi) + C = A + C$

$A + C = 3$ より、$C = 3 - A$

$6 = -\frac{1}{2}A + \frac{\sqrt{3}}{2}B + 3 - A = -\frac{3}{2}A + \frac{\sqrt{3}}{2}B + 3$

$\frac{3}{2}A - \frac{\sqrt{3}}{2}B = -3$

$3A - \sqrt{3}B = -6$

$9 = -\frac{1}{2}A - \frac{\sqrt{3}}{2}B + 3 - A = -\frac{3}{2}A - \frac{\sqrt{3}}{2}B + 3$

$\frac{3}{2}A + \frac{\sqrt{3}}{2}B = -6$

$3A + \sqrt{3}B = -12$

$3A - \sqrt{3}B = -6$

$3A + \sqrt{3}B = -12$

足すと、$6A = -18$ より、$A = -3$

引くと、$-2\sqrt{3}B = 6$ より、$B = -\sqrt{3}$

$C = 3 - (-3) = 6$

$a_n = -3\cos(\frac{2\pi n}{3}) - \sqrt{3}\sin(\frac{2\pi n}{3}) + 6$

三角関数の合成を考える

$-3\cos(\frac{2\pi n}{3}) - \sqrt{3}\sin(\frac{2\pi n}{3}) = R \cos(\frac{2\pi n}{3} + \alpha)$

$R = \sqrt{(-3)^2 + (-\sqrt{3})^2} = \sqrt{9 + 3} = \sqrt{12} = 2\sqrt{3}$

$\cos \alpha = -\frac{3}{2\sqrt{3}} = -\frac{\sqrt{3}}{2}$

$\sin \alpha = -\frac{\sqrt{3}}{2\sqrt{3}} = -\frac{1}{2}$

$\alpha = \frac{7\pi}{6}$

$a_n = 2\sqrt{3}\cos(\frac{2\pi n}{3} + \frac{7\pi}{6}) + 6$

$a_n = 2\sqrt{3}\cos(\frac{4\pi n + 7\pi}{6}) + 6$

3. 最終的な答え

$a_n = -3 \cos(\frac{2\pi n}{3}) - \sqrt{3}\sin(\frac{2\pi n}{3}) + 6$

または、$a_n = 2\sqrt{3} \cos(\frac{4\pi n + 7\pi}{6}) + 6$

または、区分関数として、

$a_n = \begin{cases} 6 & (n \equiv 1 \pmod{3}) \\ 9 & (n \equiv 2 \pmod{3}) \\ 3 & (n \equiv 0 \pmod{3}) \end{cases}$