関数 $\frac{(t+3)^2}{t}$ の、$t$に関する微分を計算します。つまり、$\frac{d}{dt} \left[ \frac{(t+3)^2}{t} \right]$ を求めます。

1. 問題の内容

関数 $\frac{(t+3)^2}{t}$ の、$t$に関する微分を計算します。つまり、$\frac{d}{dt} \left[ \frac{(t+3)^2}{t} \right]$ を求めます。

2. 解き方の手順

まず、関数を展開します。

$\frac{(t+3)^2}{t} = \frac{t^2 + 6t + 9}{t} = t + 6 + \frac{9}{t} = t + 6 + 9t^{-1}$

次に、各項を微分します。

$\frac{d}{dt}(t) = 1$

$\frac{d}{dt}(6) = 0$

$\frac{d}{dt}(9t^{-1}) = 9(-1)t^{-2} = -9t^{-2} = -\frac{9}{t^2}$

したがって、

$\frac{d}{dt} \left[ \frac{(t+3)^2}{t} \right] = 1 + 0 - \frac{9}{t^2} = 1 - \frac{9}{t^2}$

これを一つの分数としてまとめると、

$1 - \frac{9}{t^2} = \frac{t^2 - 9}{t^2} = \frac{(t-3)(t+3)}{t^2}$

3. 最終的な答え

$\frac{t^2 - 9}{t^2}$ もしくは $\frac{(t-3)(t+3)}{t^2}$