与えられた6つの関数について、不定積分を計算する問題です。 (1) $\int (2x^3 + 3x^2 - 4x + 5) dx$ (2) $\int \cos x dx$ (3) $\int \frac{x}{x^2 + 1} dx$ (4) $\int \frac{1}{\tan x} dx$ (5) $\int xe^x dx$ (6) $\int \log x dx$

1. 問題の内容

与えられた6つの関数について、不定積分を計算する問題です。

(1) $\int (2x^3 + 3x^2 - 4x + 5) dx$

(2) $\int \cos x dx$

(3) $\int \frac{x}{x^2 + 1} dx$

(4) $\int \frac{1}{\tan x} dx$

(5) $\int xe^x dx$

(6) $\int \log x dx$

2. 解き方の手順

(1) 各項を個別に積分します。

$\int 2x^3 dx = 2 \int x^3 dx = 2 \cdot \frac{x^4}{4} = \frac{x^4}{2}$

$\int 3x^2 dx = 3 \int x^2 dx = 3 \cdot \frac{x^3}{3} = x^3$

$\int -4x dx = -4 \int x dx = -4 \cdot \frac{x^2}{2} = -2x^2$

$\int 5 dx = 5x$

したがって、$\int (2x^3 + 3x^2 - 4x + 5) dx = \frac{x^4}{2} + x^3 - 2x^2 + 5x + C$

(2) $\int \cos x dx = \sin x + C$

(3) $u = x^2 + 1$ と置換すると、$du = 2x dx$ となります。

したがって、$\int \frac{x}{x^2 + 1} dx = \frac{1}{2} \int \frac{1}{u} du = \frac{1}{2} \log |u| + C = \frac{1}{2} \log (x^2 + 1) + C$

(4) $\int \frac{1}{\tan x} dx = \int \frac{\cos x}{\sin x} dx$

$u = \sin x$ と置換すると、$du = \cos x dx$ となります。

したがって、$\int \frac{\cos x}{\sin x} dx = \int \frac{1}{u} du = \log |u| + C = \log |\sin x| + C$

(5) 部分積分を行います。

$u = x$, $dv = e^x dx$ とすると、$du = dx$, $v = e^x$ となります。

$\int xe^x dx = uv - \int v du = xe^x - \int e^x dx = xe^x - e^x + C = (x-1)e^x + C$

(6) 部分積分を行います。

$u = \log x$, $dv = dx$ とすると、$du = \frac{1}{x} dx$, $v = x$ となります。

$\int \log x dx = uv - \int v du = x \log x - \int x \cdot \frac{1}{x} dx = x \log x - \int 1 dx = x \log x - x + C$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{x^4}{2} + x^3 - 2x^2 + 5x + C$

(2) $\sin x + C$

(3) $\frac{1}{2} \log (x^2 + 1) + C$

(4) $\log |\sin x| + C$

(5) $(x-1)e^x + C$

(6) $x \log x - x + C$