与えられた関数 $f(x)$ と $g(x)$ に対して、合成関数 $f \circ f(x)$, $f \circ g(x)$, $g \circ f(x)$ を求める問題です。3つの関数対について計算します。

1. 問題の内容

与えられた関数 $f(x)$ と $g(x)$ に対して、合成関数 $f \circ f(x)$, $f \circ g(x)$, $g \circ f(x)$ を求める問題です。3つの関数対について計算します。

2. 解き方の手順

合成関数は、$f \circ g(x) = f(g(x))$ で定義されます。つまり、$f(x)$ の $x$ に $g(x)$ を代入します。

(1) $f(x) = x^2 + 4$, $g(x) = \sqrt{x}$ の場合:

* $f \circ f(x) = f(f(x)) = f(x^2+4) = (x^2+4)^2 + 4 = x^4 + 8x^2 + 16 + 4 = x^4 + 8x^2 + 20$

* $f \circ g(x) = f(g(x)) = f(\sqrt{x}) = (\sqrt{x})^2 + 4 = x + 4$

* $g \circ f(x) = g(f(x)) = g(x^2+4) = \sqrt{x^2+4}$

(2) $f(x) = \frac{x}{x+1}$, $g(x) = x^2 + 3$ の場合:

* $f \circ f(x) = f(f(x)) = f(\frac{x}{x+1}) = \frac{\frac{x}{x+1}}{\frac{x}{x+1}+1} = \frac{\frac{x}{x+1}}{\frac{x+x+1}{x+1}} = \frac{x}{2x+1}$

* $f \circ g(x) = f(g(x)) = f(x^2+3) = \frac{x^2+3}{x^2+3+1} = \frac{x^2+3}{x^2+4}$

* $g \circ f(x) = g(f(x)) = g(\frac{x}{x+1}) = (\frac{x}{x+1})^2 + 3 = \frac{x^2}{(x+1)^2} + 3 = \frac{x^2 + 3(x+1)^2}{(x+1)^2} = \frac{x^2 + 3(x^2+2x+1)}{(x+1)^2} = \frac{4x^2 + 6x + 3}{(x+1)^2}$

(3) $f(x) = x^2$, $g(x) = \sin{x}$ の場合:

* $f \circ f(x) = f(f(x)) = f(x^2) = (x^2)^2 = x^4$

* $f \circ g(x) = f(g(x)) = f(\sin{x}) = (\sin{x})^2 = \sin^2{x}$

* $g \circ f(x) = g(f(x)) = g(x^2) = \sin{(x^2)}$

3. 最終的な答え

(1)

* $f \circ f(x) = x^4 + 8x^2 + 20$

* $f \circ g(x) = x + 4$

* $g \circ f(x) = \sqrt{x^2 + 4}$

(2)

* $f \circ f(x) = \frac{x}{2x+1}$

* $f \circ g(x) = \frac{x^2+3}{x^2+4}$

* $g \circ f(x) = \frac{4x^2 + 6x + 3}{(x+1)^2}$

(3)

* $f \circ f(x) = x^4$

* $f \circ g(x) = \sin^2{x}$

* $g \circ f(x) = \sin{(x^2)}$