(1) $\sin^{-1} x = \tan^{-1} \frac{1}{\sqrt{3}}$ (2) $\cos^{-1} x = 3\sin^{-1} \frac{\sqrt{3}}{2}$ (3) $\tan^{-1} x = -\frac{2}{5}\cos^{-1} \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$ (4) $\sin^{-1} x = \cos^{-1} x$

はい、承知いたしました。画像に示された練習問題4.1の各問について、$x$の値を求めます。

1. 問題の内容

(1) $\sin^{-1} x = \tan^{-1} \frac{1}{\sqrt{3}}$

(2) $\cos^{-1} x = 3\sin^{-1} \frac{\sqrt{3}}{2}$

(3) $\tan^{-1} x = -\frac{2}{5}\cos^{-1} \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$

(4) $\sin^{-1} x = \cos^{-1} x$

2. 解き方の手順

(1) $\sin^{-1} x = \tan^{-1} \frac{1}{\sqrt{3}}$

まず、$\tan^{-1} \frac{1}{\sqrt{3}}$の値を求めます。$\tan \theta = \frac{1}{\sqrt{3}}$となる$\theta$は$\theta = \frac{\pi}{6}$です。

したがって、$\tan^{-1} \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\pi}{6}$です。

次に、$\sin^{-1} x = \frac{\pi}{6}$となる$x$を求めます。$\sin \frac{\pi}{6} = \frac{1}{2}$なので、$x = \frac{1}{2}$です。

(2) $\cos^{-1} x = 3\sin^{-1} \frac{\sqrt{3}}{2}$

まず、$\sin^{-1} \frac{\sqrt{3}}{2}$の値を求めます。$\sin \theta = \frac{\sqrt{3}}{2}$となる$\theta$は$\theta = \frac{\pi}{3}$です。

したがって、$\sin^{-1} \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\pi}{3}$です。

次に、$\cos^{-1} x = 3 \cdot \frac{\pi}{3} = \pi$となる$x$を求めます。$\cos \pi = -1$なので、$x = -1$です。

(3) $\tan^{-1} x = -\frac{2}{5}\cos^{-1} \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$

まず、$\cos^{-1} \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$の値を求めます。$\cos \theta = -\frac{\sqrt{3}}{2}$となる$\theta$は$\theta = \frac{5\pi}{6}$です。

したがって、$\cos^{-1} \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = \frac{5\pi}{6}$です。

次に、$\tan^{-1} x = -\frac{2}{5} \cdot \frac{5\pi}{6} = -\frac{\pi}{3}$となる$x$を求めます。$\tan \left(-\frac{\pi}{3}\right) = -\sqrt{3}$なので、$x = -\sqrt{3}$です。

(4) $\sin^{-1} x = \cos^{-1} x$

$\sin^{-1} x = \theta$とすると、$x = \sin \theta$です。また、$\cos^{-1} x = \theta$なので、$x = \cos \theta$です。

したがって、$\sin \theta = \cos \theta$となる$\theta$を求めます。$\sin \theta = \cos \theta$は$\tan \theta = 1$と同値です。$\tan \theta = 1$となる$\theta$は$\theta = \frac{\pi}{4}$です。

したがって、$x = \sin \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$です。

3. 最終的な答え

(1) $x = \frac{1}{2}$

(2) $x = -1$

(3) $x = -\sqrt{3}$

(4) $x = \frac{\sqrt{2}}{2}$