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全微分可能な3変数関数 $f(x, y, z)$ において、$x = u - v$, $y = v - w$, $z = w - u$ のとき、$\frac{\partial f}{\partial u}$, $\frac{\partial f}{\partial v}$, $\frac{\partial f}{\partial w}$ を求める。

解析学偏微分合成関数
2025/4/18

1. 問題の内容

全微分可能な3変数関数 f(x,y,z)f(x, y, z) において、x=u−vx = u - v, y=v−wy = v - w, z=w−uz = w - u のとき、∂f∂u\frac{\partial f}{\partial u}, ∂f∂v\frac{\partial f}{\partial v}, ∂f∂w\frac{\partial f}{\partial w} を求める。

2. 解き方の手順

合成関数の偏微分を利用する。
∂f∂u=∂f∂x∂x∂u+∂f∂y∂y∂u+∂f∂z∂z∂u\frac{\partial f}{\partial u} = \frac{\partial f}{\partial x} \frac{\partial x}{\partial u} + \frac{\partial f}{\partial y} \frac{\partial y}{\partial u} + \frac{\partial f}{\partial z} \frac{\partial z}{\partial u}
∂f∂v=∂f∂x∂x∂v+∂f∂y∂y∂v+∂f∂z∂z∂v\frac{\partial f}{\partial v} = \frac{\partial f}{\partial x} \frac{\partial x}{\partial v} + \frac{\partial f}{\partial y} \frac{\partial y}{\partial v} + \frac{\partial f}{\partial z} \frac{\partial z}{\partial v}
∂f∂w=∂f∂x∂x∂w+∂f∂y∂y∂w+∂f∂z∂z∂w\frac{\partial f}{\partial w} = \frac{\partial f}{\partial x} \frac{\partial x}{\partial w} + \frac{\partial f}{\partial y} \frac{\partial y}{\partial w} + \frac{\partial f}{\partial z} \frac{\partial z}{\partial w}
それぞれを計算する。
∂x∂u=1\frac{\partial x}{\partial u} = 1, ∂x∂v=−1\frac{\partial x}{\partial v} = -1, ∂x∂w=0\frac{\partial x}{\partial w} = 0
∂y∂u=0\frac{\partial y}{\partial u} = 0, ∂y∂v=1\frac{\partial y}{\partial v} = 1, ∂y∂w=−1\frac{\partial y}{\partial w} = -1
∂z∂u=−1\frac{\partial z}{\partial u} = -1, ∂z∂v=0\frac{\partial z}{\partial v} = 0, ∂z∂w=1\frac{\partial z}{\partial w} = 1
したがって、
∂f∂u=∂f∂x(1)+∂f∂y(0)+∂f∂z(−1)=∂f∂x−∂f∂z\frac{\partial f}{\partial u} = \frac{\partial f}{\partial x} (1) + \frac{\partial f}{\partial y} (0) + \frac{\partial f}{\partial z} (-1) = \frac{\partial f}{\partial x} - \frac{\partial f}{\partial z}
∂f∂v=∂f∂x(−1)+∂f∂y(1)+∂f∂z(0)=−∂f∂x+∂f∂y\frac{\partial f}{\partial v} = \frac{\partial f}{\partial x} (-1) + \frac{\partial f}{\partial y} (1) + \frac{\partial f}{\partial z} (0) = -\frac{\partial f}{\partial x} + \frac{\partial f}{\partial y}
∂f∂w=∂f∂x(0)+∂f∂y(−1)+∂f∂z(1)=−∂f∂y+∂f∂z\frac{\partial f}{\partial w} = \frac{\partial f}{\partial x} (0) + \frac{\partial f}{\partial y} (-1) + \frac{\partial f}{\partial z} (1) = -\frac{\partial f}{\partial y} + \frac{\partial f}{\partial z}

3. 最終的な答え

∂f∂u=∂f∂x−∂f∂z\frac{\partial f}{\partial u} = \frac{\partial f}{\partial x} - \frac{\partial f}{\partial z}
∂f∂v=−∂f∂x+∂f∂y\frac{\partial f}{\partial v} = -\frac{\partial f}{\partial x} + \frac{\partial f}{\partial y}
∂f∂w=−∂f∂y+∂f∂z\frac{\partial f}{\partial w} = -\frac{\partial f}{\partial y} + \frac{\partial f}{\partial z}

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