$k$ を実数の定数とする。方程式 $8\sin x \cos x - 6\sin^2 x = k$ (*) を考える。(*) の左辺を変形し、$0 \le x \le \frac{\pi}{2}$ の範囲で (*) を満たす $x$ が 2 個となるような $k$ の値の範囲を求める。

1. 問題の内容

$k$ を実数の定数とする。方程式 $8\sin x \cos x - 6\sin^2 x = k$ (*) を考える。(*) の左辺を変形し、$0 \le x \le \frac{\pi}{2}$ の範囲で (*) を満たす $x$ が 2 個となるような $k$ の値の範囲を求める。

2. 解き方の手順

まず、(*) の左辺を変形する。

$8\sin x \cos x - 6\sin^2 x = 4(2\sin x \cos x) - 6\sin^2 x = 4\sin 2x - 6\sin^2 x$.

ここで、$1 - \cos 2x = 2\sin^2 x$ より $\sin^2 x = \frac{1 - \cos 2x}{2}$ なので、

$4\sin 2x - 6\sin^2 x = 4\sin 2x - 6\left(\frac{1 - \cos 2x}{2}\right) = 4\sin 2x - 3(1 - \cos 2x) = 4\sin 2x + 3\cos 2x - 3$.

したがって、

$8\sin x \cos x - 6\sin^2 x = 4\sin 2x + 3\cos 2x - 3$.

次に、$4\sin 2x + 3\cos 2x$ を合成する。

$4\sin 2x + 3\cos 2x = \sqrt{4^2 + 3^2} \sin(2x + \alpha) = 5\sin(2x + \alpha)$

ただし、$0 < \alpha < \frac{\pi}{2}$ であり、$\tan \alpha = \frac{3}{4}$ を満たす。

したがって、

$8\sin x \cos x - 6\sin^2 x = 5\sin(2x + \alpha) - 3$.

よって、(*) は $5\sin(2x + \alpha) - 3 = k$ となる。

$\sin(2x + \alpha) = \frac{k + 3}{5}$.

$0 \le x \le \frac{\pi}{2}$ より $0 \le 2x \le \pi$, よって $\alpha \le 2x + \alpha \le \pi + \alpha$.

$0 < \alpha < \frac{\pi}{2}$ より、$\alpha < \frac{\pi}{2}$ かつ $\pi + \alpha > \pi$.

$\sin \theta = \frac{k+3}{5}$ が $\alpha \le \theta \le \pi+\alpha$ で 2 つの解を持つためには、

$\sin \alpha < \frac{k+3}{5} \le 1$ でなければならない。

$\sin \alpha = \frac{3}{5}$ なので、$\frac{3}{5} < \frac{k+3}{5} \le 1$.

$3 < k + 3 \le 5$ より $0 < k \le 2$.

3. 最終的な答え

ツ: 4, テ: 3, ト: 3, ナ: 5, ニ: 3, ヌ: 4, ネ: 0, ノ: ①, ハ: ②, ヒ: 2

$0 < k \le 2$