関数 $f(x) = x^2 + ax + b$ が与えられている。任意の1次式 $g(x)$ に対して $\int_{-1}^{1} f(x)g(x) \, dx = 0$ が常に成り立つように、定数 $a, b$ の値を求めよ。ただし、$g(x) = px + q$ とし、$p, q$ は定数で、$p \neq 0$ である。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = x^2 + ax + b$ が与えられている。任意の1次式 $g(x)$ に対して $\int_{-1}^{1} f(x)g(x) \, dx = 0$ が常に成り立つように、定数 $a, b$ の値を求めよ。ただし、$g(x) = px + q$ とし、$p, q$ は定数で、$p \neq 0$ である。

2. 解き方の手順

$g(x) = px + q$ を $\int_{-1}^{1} f(x)g(x) \, dx = 0$ に代入する。

$\int_{-1}^{1} (x^2 + ax + b)(px + q) \, dx = 0$

$\int_{-1}^{1} (px^3 + qx^2 + apx^2 + aqx + bpx + bq) \, dx = 0$

$\int_{-1}^{1} (px^3 + (ap+q)x^2 + (aq+bp)x + bq) \, dx = 0$

積分を計算する。奇関数は積分区間 $[-1, 1]$ で積分すると 0 になるので、偶関数のみを計算する。

$\int_{-1}^{1} (ap+q)x^2 \, dx + \int_{-1}^{1} bq \, dx = 0$

$(ap+q)\int_{-1}^{1} x^2 \, dx + bq \int_{-1}^{1} 1 \, dx = 0$

$(ap+q)[\frac{1}{3}x^3]_{-1}^{1} + bq[x]_{-1}^{1} = 0$

$(ap+q)(\frac{1}{3} - (-\frac{1}{3})) + bq(1 - (-1)) = 0$

$(ap+q)(\frac{2}{3}) + bq(2) = 0$

$\frac{2}{3}(ap+q) + 2bq = 0$

$2(ap+q) + 6bq = 0$

$2ap + 2q + 6bq = 0$

$2ap + (2+6b)q = 0$

この式が任意の $p, q$ に対して成り立つためには、$p$ と $q$ の係数がそれぞれ0でなければならない。

$2a = 0$ かつ $2+6b = 0$

$a = 0$

$6b = -2$

$b = -\frac{1}{3}$

3. 最終的な答え

$a = 0$

$b = -\frac{1}{3}$