与えられた数列の極限を求める問題です。問題文には5つの数列が提示されています。 (1) $\frac{\sqrt{n^3 - 1}}{\sqrt{n^2 - 1} + \sqrt{n}}$ (2) $\frac{1}{\sqrt{2n + 1} - \sqrt{2n - 1}}$ (4) $\log_3^{\frac{n}{\sqrt{2}}}$ (5) $\cos n\pi$

1. 問題の内容

与えられた数列の極限を求める問題です。問題文には5つの数列が提示されています。

(1) $\frac{\sqrt{n^3 - 1}}{\sqrt{n^2 - 1} + \sqrt{n}}$

(2) $\frac{1}{\sqrt{2n + 1} - \sqrt{2n - 1}}$

(4) $\log_3^{\frac{n}{\sqrt{2}}}$

(5) $\cos n\pi$

2. 解き方の手順

(1) 分母と分子をそれぞれ $n$ で割ることを考えます。

$\frac{\sqrt{n^3 - 1}}{\sqrt{n^2 - 1} + \sqrt{n}} = \frac{\sqrt{n^3(1 - \frac{1}{n^3})}}{\sqrt{n^2(1 - \frac{1}{n^2})} + \sqrt{n}} = \frac{\sqrt{n^3}\sqrt{1 - \frac{1}{n^3}}}{\sqrt{n^2}\sqrt{1 - \frac{1}{n^2}} + \sqrt{n}} = \frac{n^{\frac{3}{2}}\sqrt{1 - \frac{1}{n^3}}}{n\sqrt{1 - \frac{1}{n^2}} + \sqrt{n}} = \frac{n^{\frac{3}{2}}\sqrt{1 - \frac{1}{n^3}}}{n( \sqrt{1 - \frac{1}{n^2}} + \frac{1}{\sqrt{n}})}$

$= \frac{\sqrt{n}\sqrt{1 - \frac{1}{n^3}}}{\sqrt{1 - \frac{1}{n^2}} + \frac{1}{\sqrt{n}}}$

$n \to \infty$ のとき、$\frac{1}{n^3} \to 0$, $\frac{1}{n^2} \to 0$, $\frac{1}{\sqrt{n}} \to 0$ なので、

$\lim_{n \to \infty} \frac{\sqrt{n}\sqrt{1 - \frac{1}{n^3}}}{\sqrt{1 - \frac{1}{n^2}} + \frac{1}{\sqrt{n}}} = \frac{\sqrt{n}\sqrt{1}}{\sqrt{1} + 0} = \sqrt{n} \to \infty$

(2) 分母を有理化します。

$\frac{1}{\sqrt{2n + 1} - \sqrt{2n - 1}} = \frac{\sqrt{2n + 1} + \sqrt{2n - 1}}{(\sqrt{2n + 1} - \sqrt{2n - 1})(\sqrt{2n + 1} + \sqrt{2n - 1})} = \frac{\sqrt{2n + 1} + \sqrt{2n - 1}}{(2n + 1) - (2n - 1)} = \frac{\sqrt{2n + 1} + \sqrt{2n - 1}}{2}$

$n \to \infty$ のとき、$\sqrt{2n + 1} \to \infty$, $\sqrt{2n - 1} \to \infty$ なので、

$\lim_{n \to \infty} \frac{\sqrt{2n + 1} + \sqrt{2n - 1}}{2} = \infty$

(4) $\log_3^{\frac{n}{\sqrt{2}}}$

これは $\log_3$ の引数が $\frac{n}{\sqrt{2}}$ という意味でしょうか。もしそうであれば、

$\lim_{n \to \infty} \log_3 \frac{n}{\sqrt{2}} = \infty$

(5) $\cos n\pi$

$n$ が偶数のとき $\cos n\pi = 1$

$n$ が奇数のとき $\cos n\pi = -1$

よって、振動して極限は存在しません。

3. 最終的な答え

(1) $\infty$

(2) $\infty$

(4) $\infty$

(5) 極限なし