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$\frac{4}{75}S_n = 2\left(\frac{5}{16} - \frac{4n+5}{16} \cdot \frac{1}{5^n}\right) - \frac{1}{4}\left(1-\frac{1}{5^n}\right) - \frac{n^2}{5^{n+1}}$を計算し、$S_n$を求める。

解析学級数数列計算
2025/4/17

1. 問題の内容

475Sn=2(516−4n+516⋅15n)−14(1−15n)−n25n+1\frac{4}{75}S_n = 2\left(\frac{5}{16} - \frac{4n+5}{16} \cdot \frac{1}{5^n}\right) - \frac{1}{4}\left(1-\frac{1}{5^n}\right) - \frac{n^2}{5^{n+1}}を計算し、SnS_nを求める。

2. 解き方の手順

まず、与えられた式を整理します。
475Sn=2(516−4n+516⋅15n)−14(1−15n)−n25n+1\frac{4}{75}S_n = 2\left(\frac{5}{16} - \frac{4n+5}{16} \cdot \frac{1}{5^n}\right) - \frac{1}{4}\left(1-\frac{1}{5^n}\right) - \frac{n^2}{5^{n+1}}
475Sn=1016−8n+1016⋅15n−14+14⋅15n−n25n+1\frac{4}{75}S_n = \frac{10}{16} - \frac{8n+10}{16} \cdot \frac{1}{5^n} - \frac{1}{4} + \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{5^n} - \frac{n^2}{5^{n+1}}
475Sn=58−14−8n+1016⋅15n+14⋅15n−n25n+1\frac{4}{75}S_n = \frac{5}{8} - \frac{1}{4} - \frac{8n+10}{16} \cdot \frac{1}{5^n} + \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{5^n} - \frac{n^2}{5^{n+1}}
475Sn=58−28−8n+1016⋅5n+416⋅5n−n25n+1\frac{4}{75}S_n = \frac{5}{8} - \frac{2}{8} - \frac{8n+10}{16 \cdot 5^n} + \frac{4}{16 \cdot 5^n} - \frac{n^2}{5^{n+1}}
475Sn=38−8n+10−416⋅5n−n25n+1\frac{4}{75}S_n = \frac{3}{8} - \frac{8n+10 - 4}{16 \cdot 5^n} - \frac{n^2}{5^{n+1}}
475Sn=38−8n+616⋅5n−n25n+1\frac{4}{75}S_n = \frac{3}{8} - \frac{8n+6}{16 \cdot 5^n} - \frac{n^2}{5^{n+1}}
475Sn=38−4n+38⋅5n−n25n+1\frac{4}{75}S_n = \frac{3}{8} - \frac{4n+3}{8 \cdot 5^n} - \frac{n^2}{5^{n+1}}
475Sn=38−4n+38⋅5n−n25⋅5n\frac{4}{75}S_n = \frac{3}{8} - \frac{4n+3}{8 \cdot 5^n} - \frac{n^2}{5 \cdot 5^n}
475Sn=38−5(4n+3)+8n240⋅5n\frac{4}{75}S_n = \frac{3}{8} - \frac{5(4n+3) + 8n^2}{40 \cdot 5^n}
475Sn=38−20n+15+8n240⋅5n\frac{4}{75}S_n = \frac{3}{8} - \frac{20n+15+8n^2}{40 \cdot 5^n}
475Sn=38−8n2+20n+1540⋅5n\frac{4}{75}S_n = \frac{3}{8} - \frac{8n^2+20n+15}{40 \cdot 5^n}
Sn=754(38−8n2+20n+1540⋅5n)S_n = \frac{75}{4} \left( \frac{3}{8} - \frac{8n^2+20n+15}{40 \cdot 5^n} \right)
Sn=22532−75(8n2+20n+15)160⋅5nS_n = \frac{225}{32} - \frac{75(8n^2+20n+15)}{160 \cdot 5^n}
Sn=22532−15(8n2+20n+15)32⋅5nS_n = \frac{225}{32} - \frac{15(8n^2+20n+15)}{32 \cdot 5^n}
Sn=22532−120n2+300n+22532⋅5nS_n = \frac{225}{32} - \frac{120n^2+300n+225}{32 \cdot 5^n}
Sn=225⋅5n−(120n2+300n+225)32⋅5nS_n = \frac{225 \cdot 5^n - (120n^2+300n+225)}{32 \cdot 5^n}
Sn=225(5n−1)−(120n2+300n)32⋅5nS_n = \frac{225 (5^n - 1) - (120n^2+300n)}{32 \cdot 5^n}
Sn=225(5n−1)−60n(2n+5)32⋅5nS_n = \frac{225 (5^n - 1) - 60n(2n+5)}{32 \cdot 5^n}

3. 最終的な答え

Sn=22532−15(8n2+20n+15)32⋅5nS_n = \frac{225}{32} - \frac{15(8n^2+20n+15)}{32 \cdot 5^n}
あるいは
Sn=225(5n−1)−60n(2n+5)32⋅5nS_n = \frac{225 (5^n - 1) - 60n(2n+5)}{32 \cdot 5^n}

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