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関数 $y = e^{-x} \sin x$ の導関数を求める問題です。

解析学微分導関数指数関数三角関数積の微分
2025/4/17

1. 問題の内容

関数 y=e−xsin⁡xy = e^{-x} \sin x の導関数を求める問題です。

2. 解き方の手順

積の微分公式を使います。積の微分公式は、関数 u(x)u(x) と v(x)v(x) の積の微分が以下のようになるというものです。
(uv)′=u′v+uv′(uv)' = u'v + uv'
この問題では、u(x)=e−xu(x) = e^{-x}、v(x)=sin⁡xv(x) = \sin x とおきます。
まず、u(x)u(x) の導関数を計算します。
u′(x)=(e−x)′=−e−xu'(x) = (e^{-x})' = -e^{-x}
次に、v(x)v(x) の導関数を計算します。
v′(x)=(sin⁡x)′=cos⁡xv'(x) = (\sin x)' = \cos x
これらの結果を積の微分公式に代入します。
(e−xsin⁡x)′=(e−x)′sin⁡x+e−x(sin⁡x)′(e^{-x} \sin x)' = (e^{-x})' \sin x + e^{-x} (\sin x)'
=−e−xsin⁡x+e−xcos⁡x= -e^{-x} \sin x + e^{-x} \cos x
=e−x(cos⁡x−sin⁡x)= e^{-x} (\cos x - \sin x)

3. 最終的な答え

y′=e−x(cos⁡x−sin⁡x)y' = e^{-x}(\cos x - \sin x)

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