与えられた式を計算して、$S_n$ を求める問題です。与えられた式は以下の通りです。 $\frac{4}{75}S_n = 2 \sum_{k=1}^{n} \frac{k}{5^k} - \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{5^k} - \frac{n^2}{5^{n+1}}$ また、以下の関係式が与えられています。 $\frac{4}{75}S_n = 2 \cdot \frac{5}{16} - \frac{4n+5}{16} \cdot \frac{1}{5^n} - \frac{1}{4} (1 - \frac{1}{5^n}) - \frac{n^2}{5^{n+1}}$ この式から、$S_n$ を求める必要があります。

1. 問題の内容

与えられた式を計算して、$S_n$ を求める問題です。与えられた式は以下の通りです。

$\frac{4}{75}S_n = 2 \sum_{k=1}^{n} \frac{k}{5^k} - \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{5^k} - \frac{n^2}{5^{n+1}}$

また、以下の関係式が与えられています。

$\frac{4}{75}S_n = 2 \cdot \frac{5}{16} - \frac{4n+5}{16} \cdot \frac{1}{5^n} - \frac{1}{4} (1 - \frac{1}{5^n}) - \frac{n^2}{5^{n+1}}$

この式から、$S_n$ を求める必要があります。

2. 解き方の手順

まず、右辺を整理します。

$\frac{4}{75}S_n = \frac{10}{16} - \frac{4n+5}{16 \cdot 5^n} - \frac{1}{4} + \frac{1}{4 \cdot 5^n} - \frac{n^2}{5^{n+1}}$

$\frac{4}{75}S_n = \frac{10}{16} - \frac{4}{16} - \frac{4n+5}{16 \cdot 5^n} + \frac{4}{16 \cdot 5^n} - \frac{n^2}{5 \cdot 5^n}$

$\frac{4}{75}S_n = \frac{6}{16} - \frac{4n+1}{16 \cdot 5^n} - \frac{n^2}{5 \cdot 5^n}$

$\frac{4}{75}S_n = \frac{3}{8} - \frac{4n+1}{16 \cdot 5^n} - \frac{n^2}{5 \cdot 5^n}$

$\frac{4}{75}S_n = \frac{3}{8} - \frac{4n+1}{16 \cdot 5^n} - \frac{16n^2}{16 \cdot 5^{n+1}}$

$\frac{4}{75}S_n = \frac{3}{8} - \frac{20n+5+16n^2}{80 \cdot 5^n}$

$\frac{4}{75} S_n = \frac{3}{8} - \frac{16n^2 + 20n + 5}{80 \cdot 5^n}$

両辺に $\frac{75}{4}$ を掛けます。

$S_n = \frac{75}{4} \cdot \frac{3}{8} - \frac{75}{4} \cdot \frac{16n^2 + 20n + 5}{80 \cdot 5^n}$

$S_n = \frac{225}{32} - \frac{75 (16n^2 + 20n + 5)}{320 \cdot 5^n}$

$S_n = \frac{225}{32} - \frac{15 (16n^2 + 20n + 5)}{64 \cdot 5^n}$

$S_n = \frac{225}{32} - \frac{240n^2 + 300n + 75}{64 \cdot 5^n}$

3. 最終的な答え

$S_n = \frac{225}{32} - \frac{240n^2 + 300n + 75}{64 \cdot 5^n}$

または

$S_n = \frac{225}{32} - \frac{15(16n^2+20n+5)}{64 \cdot 5^n}$