$y = \sqrt[3]{x}$ のとき、$dy/dx$ を求め、その結果が $1/3 \cdot x^{-2/3}$ となることを示す。

1. 問題の内容

$y = \sqrt[3]{x}$ のとき、$dy/dx$ を求め、その結果が $1/3 \cdot x^{-2/3}$ となることを示す。

2. 解き方の手順

まず、$y = \sqrt[3]{x}$ を $x$ について解くと、$x = y^3$ となる。

次に、$x = y^3$ を $y$ で微分する。

$\frac{dx}{dy} = \frac{d}{dy}(y^3) = 3y^2$

$\frac{dy}{dx}$ は $\frac{dx}{dy}$ の逆数であるから、

$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{\frac{dx}{dy}} = \frac{1}{3y^2}$

$y = \sqrt[3]{x}$ なので、$y^2 = (\sqrt[3]{x})^2 = x^{2/3}$ である。よって、

$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{3x^{2/3}} = \frac{1}{3} x^{-2/3}$

3. 最終的な答え

$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{3}x^{-2/3}$