数列$\{a_n\}$の第n項が$a_n = 3 \cdot (\frac{1}{5})^{n-1} = \frac{15}{5^n}$で与えられている。このとき、$S_n$を$\frac{S_n}{15} = \frac{1^2}{5} + \frac{2^2}{5^2} + \dots + \frac{n^2}{5^n}$で定義する。この式(1)の両辺に$\frac{1}{5}$をかけた式(2)と、式(1)から式(2)を引いた結果を用いて、$\sum_{k=1}^n \frac{k}{5^k}$と$\sum_{k=1}^n \frac{1}{5^k}$に関する式(3)を導出している。

1. 問題の内容

数列$\{a_n\}$の第n項が$a_n = 3 \cdot (\frac{1}{5})^{n-1} = \frac{15}{5^n}$で与えられている。このとき、$S_n$を$\frac{S_n}{15} = \frac{1^2}{5} + \frac{2^2}{5^2} + \dots + \frac{n^2}{5^n}$で定義する。この式(1)の両辺に$\frac{1}{5}$をかけた式(2)と、式(1)から式(2)を引いた結果を用いて、$\sum_{k=1}^n \frac{k}{5^k}$と$\sum_{k=1}^n \frac{1}{5^k}$に関する式(3)を導出している。

2. 解き方の手順

問題文に示されている手順に従って式を整理する。

まず、式(1)は

$\frac{S_n}{15} = \sum_{k=1}^n \frac{k^2}{5^k}$

式(1)の両辺を$\frac{1}{5}$倍した式(2)は

$\frac{S_n}{75} = \sum_{k=1}^n \frac{k^2}{5^{k+1}} = \sum_{k=2}^{n+1} \frac{(k-1)^2}{5^k} = \frac{1^2}{5^2} + \frac{2^2}{5^3} + \dots + \frac{(n-1)^2}{5^n} + \frac{n^2}{5^{n+1}}$

式(1) - 式(2)を計算すると、

$\frac{S_n}{15} - \frac{S_n}{75} = \frac{5S_n - S_n}{75} = \frac{4S_n}{75} = \frac{1^2}{5} + \frac{2^2-1^2}{5^2} + \frac{3^2 - 2^2}{5^3} + \dots + \frac{n^2 - (n-1)^2}{5^n} - \frac{n^2}{5^{n+1}}$

ここで、$k^2 - (k-1)^2 = k^2 - (k^2 - 2k + 1) = 2k - 1$なので、

$\frac{4S_n}{75} = \sum_{k=1}^n \frac{2k-1}{5^k} - \frac{n^2}{5^{n+1}}$

したがって、

$\frac{4S_n}{75} = 2 \sum_{k=1}^n \frac{k}{5^k} - \sum_{k=1}^n \frac{1}{5^k} - \frac{n^2}{5^{n+1}}$

3. 最終的な答え

$\frac{4S_n}{75} = 2 \sum_{k=1}^n \frac{k}{5^k} - \sum_{k=1}^n \frac{1}{5^k} - \frac{n^2}{5^{n+1}}$