関数 $f(x) = 2x^3 - 3(a+1)x^2 + bx - 4$ があり、$f'(a) = 0$ を満たしている。ただし、$a$, $b$ は定数で、$a < 0$ とする。 (1) $b$ を $a$ を用いて表せ。 (2) $f(x)$ の極大値、極小値をそれぞれ $a$ を用いて表せ。 (3) $f(x)$ の極大値と極小値の差が $27$ となるような $a$ の値を求めよ。また、このとき、方程式 $f(x) + k = 0$ ($k$ は定数) の負の解の個数がちょうど2個となるような $k$ の値の範囲を求めよ。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = 2x^3 - 3(a+1)x^2 + bx - 4$ があり、$f'(a) = 0$ を満たしている。ただし、$a$, $b$ は定数で、$a < 0$ とする。

(1) $b$ を $a$ を用いて表せ。

(2) $f(x)$ の極大値、極小値をそれぞれ $a$ を用いて表せ。

(3) $f(x)$ の極大値と極小値の差が $27$ となるような $a$ の値を求めよ。また、このとき、方程式 $f(x) + k = 0$ ($k$ は定数) の負の解の個数がちょうど2個となるような $k$ の値の範囲を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) $f'(x) = 6x^2 - 6(a+1)x + b$ より、$f'(a) = 6a^2 - 6(a+1)a + b = 0$。

$6a^2 - 6a^2 - 6a + b = 0$

$b = 6a$

(2) $f'(x) = 6x^2 - 6(a+1)x + 6a = 6(x^2 - (a+1)x + a) = 6(x-a)(x-1)$

$f'(x) = 0$ となるのは $x = a, 1$。$a < 0 < 1$ より、$x = a$ で極大、$x = 1$ で極小となる。

極大値：$f(a) = 2a^3 - 3(a+1)a^2 + 6a \cdot a - 4 = 2a^3 - 3a^3 - 3a^2 + 6a^2 - 4 = -a^3 + 3a^2 - 4$

極小値：$f(1) = 2 - 3(a+1) + 6a - 4 = 2 - 3a - 3 + 6a - 4 = 3a - 5$

(3) 極大値と極小値の差が 27 なので、

$f(a) - f(1) = (-a^3 + 3a^2 - 4) - (3a - 5) = -a^3 + 3a^2 - 3a + 1 = 27$

$-a^3 + 3a^2 - 3a - 26 = 0$

$a^3 - 3a^2 + 3a + 26 = 0$

$(a+2)(a^2 - 5a + 13) = 0$

$a^2 - 5a + 13 = 0$ は実数解を持たないので、$a = -2$。

このとき、$f(x) = 2x^3 + 3x^2 - 12x - 4$。

$f'(x) = 6x^2 + 6x - 12 = 6(x^2 + x - 2) = 6(x+2)(x-1)$

極大値 $f(-2) = 2(-8) + 3(4) - 12(-2) - 4 = -16 + 12 + 24 - 4 = 16$

極小値 $f(1) = 2 + 3 - 12 - 4 = -11$

方程式 $f(x) + k = 0$ つまり $f(x) = -k$ の負の解がちょうど2個となるのは、$-k$ が極大値と $f(0)$ の間にあるとき。

$f(0) = -4$ なので、$-11 < -k < -4$ ならば $f(x)=-k$ の負の解は2個。

$-16 < -k < -4$ つまり、$4 < k < 16$

3. 最終的な答え

(1) $b = 6a$

(2) 極大値: $-a^3 + 3a^2 - 4$, 極小値: $3a - 5$

(3) $a = -2$, $4 < k < 16$