$0 \le \alpha < 2\pi$, $0 \le \beta < 2\pi$, $0 \le \gamma < 2\pi$ のとき、 $\cos(\alpha + \beta + \gamma) + \cos(\alpha + \beta - \gamma) + \cos(\alpha - \beta + \gamma) + \cos(-\alpha + \beta + \gamma)$ を $\cos\alpha$, $\cos\beta$, $\cos\gamma$ のなるべく簡単な式で表す。

1. 問題の内容

$0 \le \alpha < 2\pi$, $0 \le \beta < 2\pi$, $0 \le \gamma < 2\pi$ のとき、

$\cos(\alpha + \beta + \gamma) + \cos(\alpha + \beta - \gamma) + \cos(\alpha - \beta + \gamma) + \cos(-\alpha + \beta + \gamma)$ を $\cos\alpha$, $\cos\beta$, $\cos\gamma$ のなるべく簡単な式で表す。

2. 解き方の手順

三角関数の和積の公式を利用する。

$\cos A + \cos B = 2 \cos \frac{A+B}{2} \cos \frac{A-B}{2}$

まず、$\cos(\alpha + \beta + \gamma) + \cos(\alpha + \beta - \gamma)$ を計算する。

$A = \alpha + \beta + \gamma$, $B = \alpha + \beta - \gamma$ とすると、

$\frac{A+B}{2} = \frac{(\alpha + \beta + \gamma) + (\alpha + \beta - \gamma)}{2} = \alpha + \beta$

$\frac{A-B}{2} = \frac{(\alpha + \beta + \gamma) - (\alpha + \beta - \gamma)}{2} = \gamma$

よって、

$\cos(\alpha + \beta + \gamma) + \cos(\alpha + \beta - \gamma) = 2 \cos(\alpha + \beta) \cos \gamma$

次に、$\cos(\alpha - \beta + \gamma) + \cos(-\alpha + \beta + \gamma)$ を計算する。

$A = \alpha - \beta + \gamma$, $B = -\alpha + \beta + \gamma$ とすると、

$\frac{A+B}{2} = \frac{(\alpha - \beta + \gamma) + (-\alpha + \beta + \gamma)}{2} = \gamma$

$\frac{A-B}{2} = \frac{(\alpha - \beta + \gamma) - (-\alpha + \beta + \gamma)}{2} = \alpha - \beta$

よって、

$\cos(\alpha - \beta + \gamma) + \cos(-\alpha + \beta + \gamma) = 2 \cos \gamma \cos(\alpha - \beta)$

したがって、

$\cos(\alpha + \beta + \gamma) + \cos(\alpha + \beta - \gamma) + \cos(\alpha - \beta + \gamma) + \cos(-\alpha + \beta + \gamma) = 2 \cos(\alpha + \beta) \cos \gamma + 2 \cos(\alpha - \beta) \cos \gamma = 2 \cos \gamma (\cos(\alpha + \beta) + \cos(\alpha - \beta))$

さらに、$\cos(\alpha + \beta) + \cos(\alpha - \beta)$ を計算する。

$A = \alpha + \beta$, $B = \alpha - \beta$ とすると、

$\frac{A+B}{2} = \frac{(\alpha + \beta) + (\alpha - \beta)}{2} = \alpha$

$\frac{A-B}{2} = \frac{(\alpha + \beta) - (\alpha - \beta)}{2} = \beta$

よって、

$\cos(\alpha + \beta) + \cos(\alpha - \beta) = 2 \cos \alpha \cos \beta$

したがって、

$2 \cos \gamma (\cos(\alpha + \beta) + \cos(\alpha - \beta)) = 2 \cos \gamma (2 \cos \alpha \cos \beta) = 4 \cos \alpha \cos \beta \cos \gamma$

3. 最終的な答え

$4 \cos \alpha \cos \beta \cos \gamma$