関数 $f(x) = x^2 + ax + b$ が与えられています。任意の1次式 $g(x)$ に対して、積分 $\int_{-1}^1 f(x)g(x)dx = 0$ が常に成り立つように、定数 $a, b$ の値を求める問題です。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = x^2 + ax + b$ が与えられています。任意の1次式 $g(x)$ に対して、積分 $\int_{-1}^1 f(x)g(x)dx = 0$ が常に成り立つように、定数 $a, b$ の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

任意の1次式 $g(x)$ に対して積分が0になるという条件を使い、$a$ と $b$ の値を求めます。

$g(x)$ は任意の1次式なので、$g(x) = x$ と $g(x) = 1$ の場合を考えれば十分です。

(i) $g(x) = x$ のとき

$\int_{-1}^1 f(x)x dx = \int_{-1}^1 (x^2 + ax + b)x dx = \int_{-1}^1 (x^3 + ax^2 + bx) dx = 0$

$\int_{-1}^1 x^3 dx + a\int_{-1}^1 x^2 dx + b\int_{-1}^1 x dx = 0$

$0 + a \cdot \frac{2}{3} + 0 = 0$

$\frac{2}{3}a = 0$

$a = 0$

(ii) $g(x) = 1$ のとき

$\int_{-1}^1 f(x) \cdot 1 dx = \int_{-1}^1 (x^2 + ax + b) dx = 0$

$\int_{-1}^1 x^2 dx + a\int_{-1}^1 x dx + b\int_{-1}^1 1 dx = 0$

$\frac{2}{3} + a \cdot 0 + b \cdot 2 = 0$

$\frac{2}{3} + 2b = 0$

$2b = -\frac{2}{3}$

$b = -\frac{1}{3}$

3. 最終的な答え

$a = 0$

$b = -\frac{1}{3}$