$4x^2 - y^2 + 2y - 1$ を因数分解します。

## 問題の解答

### (1)

1. 問題の内容

$4x^2 - y^2 + 2y - 1$ を因数分解します。

2. 解き方の手順

まず、$y$を含む項をまとめ、平方完成の形を作ります。

\begin{align*}

4x^2 - y^2 + 2y - 1 &= 4x^2 - (y^2 - 2y + 1) \\

&= 4x^2 - (y - 1)^2

\end{align*}

次に、差の二乗の公式 $a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)$ を利用します。

\begin{align*}

4x^2 - (y - 1)^2 &= (2x)^2 - (y - 1)^2 \\

&= (2x + (y - 1))(2x - (y - 1)) \\

&= (2x + y - 1)(2x - y + 1)

\end{align*}

3. 最終的な答え

$(2x + y - 1)(2x - y + 1)$

### (3)

1. 問題の内容

$x^3 + ax^2 - x^2 - a$ を因数分解します。

2. 解き方の手順

まず、共通因数でくくります。

\begin{align*}

x^3 + ax^2 - x^2 - a &= x^2(x + a) - (x^2 + a) \\

&= x^2(x + a) - 1(x^2 + a)

\end{align*}

次に、共通因数でくくります。

$x^3 + ax^2 - x^2 - a = x^2(x+a) - (x^2+a)$

これは、共通因数がありません。

最初の式を、$x^2$ の項と $a$ の項で整理します。

\begin{align*}

x^3 + ax^2 - x^2 - a &= x^3 - x^2 + ax^2 - a \\

&= x^2(x - 1) + a(x^2 - 1) \\

&= x^2(x - 1) + a(x - 1)(x + 1) \\

&= (x - 1)[x^2 + a(x + 1)] \\

&= (x - 1)(x^2 + ax + a)

\end{align*}

3. 最終的な答え

$(x - 1)(x^2 + ax + a)$

### (5)

1. 問題の内容

$3x^2 + 2xy - y^2 + 7x + 3y + 4$ を因数分解します。

2. 解き方の手順

まず、$x$ について整理します。

\begin{align*}

3x^2 + (2y + 7)x - (y^2 - 3y - 4)

\end{align*}

次に、$y$ の二次式を因数分解します。

\begin{align*}

y^2 - 3y - 4 = (y - 4)(y + 1)

\end{align*}

与式は、

\begin{align*}

3x^2 + (2y + 7)x - (y - 4)(y + 1)

\end{align*}

$(3x + (ay + b))(x + (cy + d))$の形に因数分解できると仮定します。

展開すると、

\begin{align*}

3x^2 + (3cy + 3d + ay + b)x + (acy^2 + (ad + bc)y + bd)

\end{align*}

係数を比較します。

\begin{align*}

3c + a = 2 \\

3d + b = 7 \\

ac = -1 \\

bd = 4

\end{align*}

a = -1, c = 1とすると

\begin{align*}

3(1) + a = 2 \\

a = -1

\end{align*}

b = 4, d = 1とすると

\begin{align*}

3(1) + 4 = 7 \\

7 = 7

\end{align*}

したがって、

\begin{align*}

(3x - (y - 4))(x + (y + 1)) \\

(3x - y + 4)(x + y + 1)

\end{align*}

3. 最終的な答え

$(3x - y + 4)(x + y + 1)$

### (7)

1. 問題の内容

$a(b^2 - c^2) + b(c^2 - a^2) + c(a^2 - b^2)$ を因数分解します。

2. 解き方の手順

まず、式を展開します。

\begin{align*}

a(b^2 - c^2) + b(c^2 - a^2) + c(a^2 - b^2) &= ab^2 - ac^2 + bc^2 - ba^2 + ca^2 - cb^2 \\

&= ab^2 - ac^2 + bc^2 - a^2b + a^2c - b^2c

\end{align*}

次に、$a$について整理します。

\begin{align*}

(c-b)a^2 + (b^2 - c^2)a + (bc^2 - b^2c) &= (c-b)a^2 - (c-b)(c+b)a + bc(c - b) \\

&= (c-b)[a^2 - (c+b)a + bc] \\

&= (c-b)(a - b)(a - c) \\

&= -(b-c)(a-b)(a-c) \\

&= -(a-b)(b-c)(c-a)

\end{align*}

3. 最終的な答え

$-(a-b)(b-c)(c-a)$

あるいは

$(a-b)(c-b)(c-a)$

あるいは

$(a-b)(b-c)(a-c)$

あるいは

$-(a-b)(b-c)(c-a)$

$(a - b)(c - b)(c - a)$

$-(a-b)(b-c)(c-a)$