与えられた式 $y = \frac{4\tan\theta}{1+\tan^2\theta}$ を変形して、最終的に $y$ を $2\sin 2\theta$ の形にすることを目的とする。

1. 問題の内容

与えられた式 $y = \frac{4\tan\theta}{1+\tan^2\theta}$ を変形して、最終的に $y$ を $2\sin 2\theta$ の形にすることを目的とする。

2. 解き方の手順

まず、与えられた式からスタートします。

$y = \frac{4\tan\theta}{1+\tan^2\theta}$

三角関数の恒等式 $1 + \tan^2\theta = \frac{1}{\cos^2\theta}$ を用いると、

$y = \frac{4\tan\theta}{\frac{1}{\cos^2\theta}} = 4\tan\theta \cos^2\theta$

次に、$\tan\theta = \frac{\sin\theta}{\cos\theta}$ を用いると、

$y = 4 \cdot \frac{\sin\theta}{\cos\theta} \cdot \cos^2\theta = 4 \sin\theta \cos\theta$

最後に、三角関数の倍角公式 $2\sin\theta\cos\theta = \sin 2\theta$ を用いると、

$y = 2 \cdot 2\sin\theta \cos\theta = 2\sin 2\theta$

3. 最終的な答え

$y = 2\sin 2\theta$