与えられた問題は、(1)から(6)は関数の微分、(7)から(9)はn次導関数の表示を求める問題、(10)から(12)は極限を求める問題です。 ここでは、問題(10)を解きます。 問題(10)は、以下の極限を求める問題です。 $\lim_{x \to 0} \frac{1 - \frac{x^2}{2} - \cos x}{\sin^4 x}$

## 問題の回答

1. 問題の内容

与えられた問題は、(1)から(6)は関数の微分、(7)から(9)はn次導関数の表示を求める問題、(10)から(12)は極限を求める問題です。

ここでは、問題(10)を解きます。

問題(10)は、以下の極限を求める問題です。

$\lim_{x \to 0} \frac{1 - \frac{x^2}{2} - \cos x}{\sin^4 x}$

2. 解き方の手順

この極限を求めるためには、ロピタルの定理を繰り返し適用するか、またはマクローリン展開を使用します。ここではマクローリン展開を用いて解きます。

$\cos x$と$\sin x$のマクローリン展開は以下の通りです。

$\cos x = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \frac{x^6}{6!} + \dots$

$\sin x = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \dots$

これらの展開式を用いて、与えられた式を変形します。

まず、分子を変形します。

$1 - \frac{x^2}{2} - \cos x = 1 - \frac{x^2}{2} - (1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \frac{x^6}{6!} + \dots) = -\frac{x^4}{4!} + \frac{x^6}{6!} - \dots$

次に、分母を変形します。

$\sin^4 x = (x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \dots)^4 = x^4 (1 - \frac{x^2}{3!} + \frac{x^4}{5!} - \dots)^4$

したがって、与えられた極限は以下のようになります。

$\lim_{x \to 0} \frac{-\frac{x^4}{4!} + \frac{x^6}{6!} - \dots}{x^4 (1 - \frac{x^2}{3!} + \frac{x^4}{5!} - \dots)^4} = \lim_{x \to 0} \frac{-\frac{1}{4!} + \frac{x^2}{6!} - \dots}{(1 - \frac{x^2}{3!} + \frac{x^4}{5!} - \dots)^4}$

$x \to 0$のとき、$x^2, x^4, \dots$は0に近づくので、

$\lim_{x \to 0} \frac{-\frac{1}{4!} + \frac{x^2}{6!} - \dots}{(1 - \frac{x^2}{3!} + \frac{x^4}{5!} - \dots)^4} = \frac{-\frac{1}{4!}}{1^4} = -\frac{1}{24}$

3. 最終的な答え

$\lim_{x \to 0} \frac{1 - \frac{x^2}{2} - \cos x}{\sin^4 x} = -\frac{1}{24}$