以下の6つの関数をそれぞれ微分する問題です。 (1) $(x^2 + x + 1)^5$ (2) $\sin^2 x - \cos^2 x$ (3) $\sqrt{1 + \sin x}$ (4) $\log(\log x)$ (5) $\log \sqrt{\frac{1+x}{1-x}}$ (6) $\sin^{-1} \frac{2x+1}{\sqrt{5}}$

1. 問題の内容

以下の6つの関数をそれぞれ微分する問題です。

(1) $(x^2 + x + 1)^5$

(2) $\sin^2 x - \cos^2 x$

(3) $\sqrt{1 + \sin x}$

(4) $\log(\log x)$

(5) $\log \sqrt{\frac{1+x}{1-x}}$

(6) $\sin^{-1} \frac{2x+1}{\sqrt{5}}$

2. 解き方の手順

(1) 合成関数の微分法を用いる。

$y = u^5$, $u = x^2 + x + 1$とすると、$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \frac{du}{dx}$となる。

$\frac{dy}{du} = 5u^4$, $\frac{du}{dx} = 2x + 1$なので、

$\frac{dy}{dx} = 5(x^2 + x + 1)^4 (2x + 1)$

(2) $\sin^2 x - \cos^2 x = -\cos(2x)$なので、

$\frac{d}{dx} (-\cos(2x)) = 2\sin(2x)$

(3) $y = \sqrt{u}$, $u = 1 + \sin x$とすると、$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \frac{du}{dx}$となる。

$\frac{dy}{du} = \frac{1}{2\sqrt{u}}$, $\frac{du}{dx} = \cos x$なので、

$\frac{dy}{dx} = \frac{\cos x}{2\sqrt{1 + \sin x}}$

(4) $y = \log u$, $u = \log x$とすると、$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \frac{du}{dx}$となる。

$\frac{dy}{du} = \frac{1}{u}$, $\frac{du}{dx} = \frac{1}{x}$なので、

$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{x \log x}$

(5) $\log \sqrt{\frac{1+x}{1-x}} = \frac{1}{2} \log \frac{1+x}{1-x} = \frac{1}{2} (\log (1+x) - \log (1-x))$

よって、微分は、

$\frac{1}{2} (\frac{1}{1+x} - \frac{-1}{1-x}) = \frac{1}{2} (\frac{1}{1+x} + \frac{1}{1-x}) = \frac{1}{2} \frac{1-x+1+x}{(1+x)(1-x)} = \frac{1}{2} \frac{2}{1-x^2} = \frac{1}{1-x^2}$

(6) $y = \sin^{-1} u$, $u = \frac{2x+1}{\sqrt{5}}$とすると、$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \frac{du}{dx}$となる。

$\frac{dy}{du} = \frac{1}{\sqrt{1 - u^2}}$, $\frac{du}{dx} = \frac{2}{\sqrt{5}}$なので、

$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{\sqrt{1 - (\frac{2x+1}{\sqrt{5}})^2}} \frac{2}{\sqrt{5}} = \frac{2}{\sqrt{5}} \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{4x^2 + 4x + 1}{5}}} = \frac{2}{\sqrt{5}} \frac{1}{\sqrt{\frac{5 - 4x^2 - 4x - 1}{5}}} = \frac{2}{\sqrt{5}} \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{4 - 4x^2 - 4x}} = \frac{2}{\sqrt{4 - 4x^2 - 4x}} = \frac{1}{\sqrt{1 - x - x^2}}$

3. 最終的な答え

(1) $5(x^2 + x + 1)^4 (2x + 1)$

(2) $2\sin(2x)$

(3) $\frac{\cos x}{2\sqrt{1 + \sin x}}$

(4) $\frac{1}{x \log x}$

(5) $\frac{1}{1-x^2}$

(6) $\frac{1}{\sqrt{1 - x - x^2}}$