関数 $y = f(x) = x^4 - 2x^2$ の、定義域 $-3 \leq x \leq 4$ における最大値と最小値を求める問題です。

1. 問題の内容

関数 $y = f(x) = x^4 - 2x^2$ の、定義域 $-3 \leq x \leq 4$ における最大値と最小値を求める問題です。

2. 解き方の手順

(1) 関数を微分して、極値を求めます。

$f(x) = x^4 - 2x^2$

$f'(x) = 4x^3 - 4x = 4x(x^2 - 1) = 4x(x-1)(x+1)$

$f'(x) = 0$ となるのは $x = -1, 0, 1$ のときです。

(2) 増減表を作成します。

| x | -3 | ... | -1 | ... | 0 | ... | 1 | ... | 4 |

|-----|-------|------|------|------|------|------|------|------|-------|

| f'(x)| - | - | 0 | + | 0 | - | 0 | + | + |

| f(x) | 63 | ↘ | -1 | ↗ | 0 | ↘ | -1 | ↗ | 208 |

(3) 定義域の端点と極値における $f(x)$ の値を計算します。

$f(-3) = (-3)^4 - 2(-3)^2 = 81 - 18 = 63$

$f(-1) = (-1)^4 - 2(-1)^2 = 1 - 2 = -1$

$f(0) = 0^4 - 2(0)^2 = 0$

$f(1) = 1^4 - 2(1)^2 = 1 - 2 = -1$

$f(4) = (4)^4 - 2(4)^2 = 256 - 32 = 224$

(4) 計算結果から、最大値と最小値を判断します。

上の表を見ると、$x = 4$ のときに最大値 $224$ をとり、$x = -1, 1$ のときに最小値 $-1$ をとることがわかります。

3. 最終的な答え

最大値: 224 ($x = 4$ のとき)

最小値: -1 ($x = -1, 1$ のとき)