地震のマグニチュード$M$とエネルギー$E$の関係に関する問題です。 (1) $\log_{10}E$ を $M$ を用いて表します。 (2) $E$ が10倍になるときの $M$ の減少量を求めます。

1. 問題の内容

地震のマグニチュード$M$とエネルギー$E$の関係に関する問題です。

(1) $\log_{10}E$ を $M$ を用いて表します。

(2) $E$ が10倍になるときの $M$ の減少量を求めます。

2. 解き方の手順

(1) $M$ が2増えると $E$ は1000倍になることから、$M$ と $\log_{10}E$ の間には線形の関係があると推測できます。

つまり、$\log_{10}E = aM + b$ の形になると考えられます。

$M=1.0$ のとき $\log_{10}E = 6.3$ であるから、

$6.3 = a(1.0) + b$

$a + b = 6.3$ (1)

$M$ が2増えると $E$ は1000倍になるので、$\log_{10}E$ は $\log_{10}1000 = 3$ 増えます。

したがって、$M=3.0$ のとき、$\log_{10}E = 6.3 + 3 = 9.3$ となります。

$9.3 = a(3.0) + b$

$3a + b = 9.3$ (2)

(2) - (1) より、

$2a = 3$

$a = 1.5$

(1) に代入して、

$1.5 + b = 6.3$

$b = 4.8$

したがって、$\log_{10}E = 1.5M + 4.8$

(2) $E$ が10倍になるとき、$M$ がどれだけ変化するかを考えます。

$E$ が10倍になると、$\log_{10}E$ は $\log_{10}10 = 1$ だけ増加します。

$E$ が10倍になる前のマグニチュードを $M_1$ とすると、$\log_{10}E_1 = 1.5M_1 + 4.8$

$E$ が10倍になった後のマグニチュードを $M_2$ とすると、$\log_{10}E_2 = \log_{10}(10E_1) = \log_{10}E_1 + 1 = 1.5M_2 + 4.8$

したがって、

$1.5M_1 + 4.8 + 1 = 1.5M_2 + 4.8$

$1.5M_1 + 1 = 1.5M_2$

$1 = 1.5(M_2 - M_1)$

$M_2 - M_1 = \frac{1}{1.5} = \frac{2}{3}$

$M_2 - M_1 = \frac{2}{3}$ であるから、$M_2$ は $M_1$ より $\frac{2}{3}$ だけ大きいです。

問題文は $M$ の減少量を求めているため、減少量は $-\frac{2}{3}$となります。

しかし、減少量の絶対値を求めるなら、$\frac{2}{3}$となります。

3. 最終的な答え

(1) $\log_{10}E = 1.5M + 4.8$

(2) $\frac{2}{3}$