複素数の計算問題です。$\left( \frac{1+i}{1-\sqrt{3}i} \right)^6$ を計算します。

1. 問題の内容

複素数の計算問題です。$\left( \frac{1+i}{1-\sqrt{3}i} \right)^6$ を計算します。

2. 解き方の手順

まずは、$\frac{1+i}{1-\sqrt{3}i}$を計算します。分母を実数化するために、分母の共役複素数である$1+\sqrt{3}i$を分母分子にかけます。

$\frac{1+i}{1-\sqrt{3}i} = \frac{(1+i)(1+\sqrt{3}i)}{(1-\sqrt{3}i)(1+\sqrt{3}i)}$

$= \frac{1+\sqrt{3}i+i+\sqrt{3}i^2}{1^2 - (\sqrt{3}i)^2} = \frac{1+\sqrt{3}i+i-\sqrt{3}}{1+3}$

$= \frac{(1-\sqrt{3})+(\sqrt{3}+1)i}{4} = \frac{1-\sqrt{3}}{4} + \frac{\sqrt{3}+1}{4}i$

次に、$\frac{1-\sqrt{3}}{4} + \frac{\sqrt{3}+1}{4}i$ を極形式に変換します。

$r = \sqrt{\left(\frac{1-\sqrt{3}}{4}\right)^2 + \left(\frac{\sqrt{3}+1}{4}\right)^2} = \sqrt{\frac{1-2\sqrt{3}+3}{16} + \frac{3+2\sqrt{3}+1}{16}} = \sqrt{\frac{8}{16}} = \sqrt{\frac{1}{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$

$\cos \theta = \frac{\frac{1-\sqrt{3}}{4}}{\frac{1}{\sqrt{2}}} = \frac{\sqrt{2}(1-\sqrt{3})}{4} = \frac{\sqrt{2}-\sqrt{6}}{4}$

$\sin \theta = \frac{\frac{\sqrt{3}+1}{4}}{\frac{1}{\sqrt{2}}} = \frac{\sqrt{2}(\sqrt{3}+1)}{4} = \frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$

よって、$\theta = \frac{2\pi}{3}$

したがって、

$\frac{1+i}{1-\sqrt{3}i} = \frac{1}{\sqrt{2}} (\cos \frac{5\pi}{12} + i \sin \frac{5\pi}{12})$

ド・モアブルの定理より、

$\left( \frac{1+i}{1-\sqrt{3}i} \right)^6 = \left( \frac{1}{\sqrt{2}} \right)^6 \left( \cos \left( 6 \cdot \frac{5\pi}{12} \right) + i \sin \left( 6 \cdot \frac{5\pi}{12} \right) \right)$

$= \frac{1}{8} \left( \cos \frac{5\pi}{2} + i \sin \frac{5\pi}{2} \right) = \frac{1}{8} \left( \cos \frac{\pi}{2} + i \sin \frac{\pi}{2} \right) = \frac{1}{8}(0+i) = \frac{1}{8}i$

別の方法として、

$1 + i = \sqrt{2} (\cos (\frac{\pi}{4}) + i \sin (\frac{\pi}{4})) = \sqrt{2} e^{i \frac{\pi}{4}}$

$1 - \sqrt{3}i = 2 (\cos (-\frac{\pi}{3}) + i \sin (-\frac{\pi}{3})) = 2 e^{-i \frac{\pi}{3}}$

$\frac{1+i}{1-\sqrt{3}i} = \frac{\sqrt{2} e^{i \frac{\pi}{4}}}{2 e^{-i \frac{\pi}{3}}} = \frac{\sqrt{2}}{2} e^{i (\frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{3})} = \frac{1}{\sqrt{2}} e^{i \frac{7\pi}{12}}$

$\left( \frac{1+i}{1-\sqrt{3}i} \right)^6 = \left( \frac{1}{\sqrt{2}} \right)^6 e^{i \frac{7\pi}{12} \cdot 6} = \frac{1}{8} e^{i \frac{7\pi}{2}} = \frac{1}{8} (\cos (\frac{7\pi}{2}) + i \sin (\frac{7\pi}{2})) = \frac{1}{8} (0 - i) = -\frac{i}{8}$

3. 最終的な答え

$-\frac{i}{8}$