1. 問題の内容
与えられた5つの行列計算問題を解きます。行列の積、スカラー倍、和、および累乗を計算する必要があります。
2. 解き方の手順
(1) 行列とベクトルの積を計算します。
\begin{pmatrix}
3 & 2 & 1 \\
1 & -1 & 2 \\
0 & 2 & 1
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
-1 \\
1 \\
2
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
3(-1) + 2(1) + 1(2) \\
1(-1) + (-1)(1) + 2(2) \\
0(-1) + 2(1) + 1(2)
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
-3 + 2 + 2 \\
-1 - 1 + 4 \\
0 + 2 + 2
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
1 \\
2 \\
4
\end{pmatrix}
(2) スカラー倍と行列の和を計算します。
2\begin{pmatrix}
2 & -1 & 1 \\
1 & 2 & -1 \\
0 & 1 & 1
\end{pmatrix}
-3\begin{pmatrix}
1 & 2 & 0 \\
-1 & 1 & 2 \\
3 & -1 & 2
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
4 & -2 & 2 \\
2 & 4 & -2 \\
0 & 2 & 2
\end{pmatrix}
-
\begin{pmatrix}
3 & 6 & 0 \\
-3 & 3 & 6 \\
9 & -3 & 6
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
4-3 & -2-6 & 2-0 \\
2-(-3) & 4-3 & -2-6 \\
0-9 & 2-(-3) & 2-6
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
1 & -8 & 2 \\
5 & 1 & -8 \\
-9 & 5 & -4
\end{pmatrix}
(3) 行列の積を計算します。
\begin{pmatrix}
1 & -1 & 0 \\
2 & 2 & 3 \\
-1 & 1 & 2
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
1 & 2 & 1 \\
1 & 3 & 2 \\
0 & -2 & 1
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
1(1) + (-1)(1) + 0(0) & 1(2) + (-1)(3) + 0(-2) & 1(1) + (-1)(2) + 0(1) \\
2(1) + 2(1) + 3(0) & 2(2) + 2(3) + 3(-2) & 2(1) + 2(2) + 3(1) \\
(-1)(1) + 1(1) + 2(0) & (-1)(2) + 1(3) + 2(-2) & (-1)(1) + 1(2) + 2(1)
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
1-1+0 & 2-3+0 & 1-2+0 \\
2+2+0 & 4+6-6 & 2+4+3 \\
-1+1+0 & -2+3-4 & -1+2+2
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
0 & -1 & -1 \\
4 & 4 & 9 \\
0 & -3 & 3
\end{pmatrix}
(4) 行列の2乗を計算します。
\begin{pmatrix}
1 & -1 & 0 \\
2 & 1 & 3 \\
-1 & 1 & -1
\end{pmatrix}^2
=
\begin{pmatrix}
1 & -1 & 0 \\
2 & 1 & 3 \\
-1 & 1 & -1
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
1 & -1 & 0 \\
2 & 1 & 3 \\
-1 & 1 & -1
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
1(1) + (-1)(2) + 0(-1) & 1(-1) + (-1)(1) + 0(1) & 1(0) + (-1)(3) + 0(-1) \\
2(1) + 1(2) + 3(-1) & 2(-1) + 1(1) + 3(1) & 2(0) + 1(3) + 3(-1) \\
(-1)(1) + 1(2) + (-1)(-1) & (-1)(-1) + 1(1) + (-1)(1) & (-1)(0) + 1(3) + (-1)(-1)
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
1-2+0 & -1-1+0 & 0-3+0 \\
2+2-3 & -2+1+3 & 0+3-3 \\
-1+2+1 & 1+1-1 & 0+3+1
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
-1 & -2 & -3 \\
1 & 2 & 0 \\
2 & 1 & 4
\end{pmatrix}
(5) 行列の3乗を計算します。
A = \begin{pmatrix}
0 & 2 & -1 \\
0 & 0 & 2 \\
0 & 0 & 0
\end{pmatrix}
A^2 = \begin{pmatrix}
0 & 2 & -1 \\
0 & 0 & 2 \\
0 & 0 & 0
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
0 & 2 & -1 \\
0 & 0 & 2 \\
0 & 0 & 0
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
0 & 0 & 4 \\
0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0
\end{pmatrix}
A^3 = A^2 A = \begin{pmatrix}
0 & 0 & 4 \\
0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
0 & 2 & -1 \\
0 & 0 & 2 \\
0 & 0 & 0
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0
\end{pmatrix}
3. 最終的な答え
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)