周囲の長さが24cmの長方形において、長い辺の長さを$x$ cmとするとき、長方形の面積が20cm$^2$以上32cm$^2$以下となる$x$の範囲を求める。

1. 問題の内容

周囲の長さが24cmの長方形において、長い辺の長さを$x$ cmとするとき、長方形の面積が20cm$^2$以上32cm$^2$以下となる$x$の範囲を求める。

2. 解き方の手順

まず、長方形の短い辺の長さを$y$ cmとおく。長方形の周囲の長さは24cmなので、

$2x + 2y = 24$

$x + y = 12$

$y = 12 - x$

長方形の面積は$x \times y$ で表され、$xy$の値が20以上32以下となる$x$の範囲を求める。

面積を$S$とすると、$S = x(12 - x) = 12x - x^2$

面積が20cm$^2$以上32cm$^2$以下なので、

$20 \le 12x - x^2 \le 32$

まず、$12x - x^2 \ge 20$ を解く。

$x^2 - 12x + 20 \le 0$

$(x - 2)(x - 10) \le 0$

$2 \le x \le 10$

次に、$12x - x^2 \le 32$ を解く。

$x^2 - 12x + 32 \ge 0$

$(x - 4)(x - 8) \ge 0$

$x \le 4$ または $x \ge 8$

したがって、$2 \le x \le 10$ かつ ($x \le 4$ または $x \ge 8$) より、$2 \le x \le 4$ または $8 \le x \le 10$ となる。

また、$x$は長方形の長い方の辺の長さなので、$x \ge y$となる。すなわち、$x \ge 12 - x$、$2x \ge 12$、$x \ge 6$でなければならない。

したがって、$8 \le x \le 10$。

3. 最終的な答え

$8 \le x \le 10$