放物線 $y = ax^2 + bx + 1$ を x 軸方向に 3、y 軸方向に $p$ だけ平行移動した後、直線 $x=1$ に関して対称移動したら、放物線 $y = 2x^2 - 4$ に重なった。定数 $a$, $b$, $p$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

放物線 $y = ax^2 + bx + 1$ を x 軸方向に 3、y 軸方向に $p$ だけ平行移動した後、直線 $x=1$ に関して対称移動したら、放物線 $y = 2x^2 - 4$ に重なった。定数 $a$, $b$, $p$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、放物線 $y = ax^2 + bx + 1$ を x軸方向に 3、y軸方向に $p$ だけ平行移動した放物線の方程式を求めます。平行移動後の放物線の方程式は、

$y - p = a(x - 3)^2 + b(x - 3) + 1$

整理すると、

$y = a(x^2 - 6x + 9) + b(x - 3) + 1 + p$

$y = ax^2 - 6ax + 9a + bx - 3b + 1 + p$

$y = ax^2 + (b - 6a)x + (9a - 3b + 1 + p)$

次に、この放物線を直線 $x=1$ に関して対称移動します。対称移動後の放物線の方程式を求めるために、$x$ を $2 - x$ で置き換えます。

$y = a(2 - x)^2 + (b - 6a)(2 - x) + (9a - 3b + 1 + p)$

$y = a(4 - 4x + x^2) + (2b - 12a - bx + 6ax) + (9a - 3b + 1 + p)$

$y = ax^2 + (-4a - b + 6a)x + (4a + 2b - 12a + 9a - 3b + 1 + p)$

$y = ax^2 + (2a - b)x + (a - b + 1 + p)$

この放物線が $y = 2x^2 - 4$ と一致するので、係数を比較します。

$a = 2$

$2a - b = 0$

$a - b + 1 + p = -4$

$a = 2$ を $2a - b = 0$ に代入すると、

$2(2) - b = 0$

$4 - b = 0$

$b = 4$

$a = 2$, $b = 4$ を $a - b + 1 + p = -4$ に代入すると、

$2 - 4 + 1 + p = -4$

$-1 + p = -4$

$p = -3$

3. 最終的な答え

$a = 2$

$b = 4$

$p = -3$