与えられた線形変換に対応する行列 $A$ を求める問題です。具体的には、以下の3つの変換に対する行列 $A$ を求めます。 (1) 点 $(x, y)$ を点 $(3x - y, 5x - 3y)$ に写像する変換 (2) 点 $(1, -1)$ と $(-1, 4)$ をそれぞれ点 $(2, 0)$ と $(1, 6)$ に写像する変換 (3) 点 $(1, 1)$ を動かさず、点 $(1, -1)$ を点 $(-1, 1)$ に写像する変換

1. 問題の内容

与えられた線形変換に対応する行列 $A$ を求める問題です。具体的には、以下の3つの変換に対する行列 $A$ を求めます。

(1) 点 $(x, y)$ を点 $(3x - y, 5x - 3y)$ に写像する変換

(2) 点 $(1, -1)$ と $(-1, 4)$ をそれぞれ点 $(2, 0)$ と $(1, 6)$ に写像する変換

(3) 点 $(1, 1)$ を動かさず、点 $(1, -1)$ を点 $(-1, 1)$ に写像する変換

2. 解き方の手順

(1) 点 $(x, y)$ を点 $(3x - y, 5x - 3y)$ に写像する変換

この変換は、

$\begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 & -1 \\ 5 & -3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$

と表せるので、求める行列 $A$ は

$A = \begin{pmatrix} 3 & -1 \\ 5 & -3 \end{pmatrix}$

となります。

(2) 点 $(1, -1)$ と $(-1, 4)$ をそれぞれ点 $(2, 0)$ と $(1, 6)$ に写像する変換

求める行列を $A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$ とします。

与えられた条件から、

$\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \end{pmatrix}$

$\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -1 \\ 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 6 \end{pmatrix}$

これらの式から、

$a - b = 2$

$c - d = 0$

$-a + 4b = 1$

$-c + 4d = 6$

これらの連立方程式を解くと、

$3b = 3$ より $b = 1$

$a = b + 2 = 1 + 2 = 3$

$3d = 6$ より $d = 2$

$c = d = 2$

したがって、求める行列 $A$ は

$A = \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 2 & 2 \end{pmatrix}$

となります。

(3) 点 $(1, 1)$ を動かさず、点 $(1, -1)$ を点 $(-1, 1)$ に写像する変換

求める行列を $A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$ とします。

与えられた条件から、

$\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}$

$\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \end{pmatrix}$

これらの式から、

$a + b = 1$

$c + d = 1$

$a - b = -1$

$c - d = 1$

これらの連立方程式を解くと、

$2a = 0$ より $a = 0$

$b = 1 - a = 1$

$2c = 2$ より $c = 1$

$d = 1 - c = 0$

したがって、求める行列 $A$ は

$A = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$

となります。

3. 最終的な答え

(1) $A = \begin{pmatrix} 3 & -1 \\ 5 & -3 \end{pmatrix}$

(2) $A = \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 2 & 2 \end{pmatrix}$

(3) $A = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$