与えられた式 $(2\sqrt{2}-\sqrt{3})(5\sqrt{6}+\sqrt{10})(\sqrt{2}+\sqrt{12})$ を計算して、簡単にします。

1. 問題の内容

与えられた式 $(2\sqrt{2}-\sqrt{3})(5\sqrt{6}+\sqrt{10})(\sqrt{2}+\sqrt{12})$ を計算して、簡単にします。

2. 解き方の手順

まず、$\sqrt{12}$ を簡単にします。 $\sqrt{12} = \sqrt{4 \cdot 3} = 2\sqrt{3}$なので、与式は $(2\sqrt{2}-\sqrt{3})(5\sqrt{6}+\sqrt{10})(\sqrt{2}+2\sqrt{3})$ となります。

次に、$(5\sqrt{6}+\sqrt{10})$を$\sqrt{2}$でくくると、

$5\sqrt{6}+\sqrt{10} = 5\sqrt{3}\sqrt{2}+\sqrt{5}\sqrt{2} = (5\sqrt{3}+\sqrt{5})\sqrt{2}$

となります。

すると、式は $(2\sqrt{2}-\sqrt{3})\sqrt{2}(5\sqrt{3}+\sqrt{5})(\sqrt{2}+2\sqrt{3})$ となります。

次に、$(2\sqrt{2}-\sqrt{3})(\sqrt{2}+2\sqrt{3})$ を計算します。

$(2\sqrt{2}-\sqrt{3})(\sqrt{2}+2\sqrt{3}) = 2\sqrt{2}\sqrt{2} + 4\sqrt{2}\sqrt{3} - \sqrt{3}\sqrt{2} - 2\sqrt{3}\sqrt{3} = 4+4\sqrt{6}-\sqrt{6}-6 = -2+3\sqrt{6}$.

したがって、与式は $(-2+3\sqrt{6})\sqrt{2}(5\sqrt{3}+\sqrt{5}) = \sqrt{2}(-2+3\sqrt{6})(5\sqrt{3}+\sqrt{5})$となります。

$(-2+3\sqrt{6})(5\sqrt{3}+\sqrt{5}) = -10\sqrt{3}-2\sqrt{5}+15\sqrt{18}+3\sqrt{30} = -10\sqrt{3}-2\sqrt{5}+15(3\sqrt{2})+3\sqrt{30} = -10\sqrt{3}-2\sqrt{5}+45\sqrt{2}+3\sqrt{30}$

したがって、$\sqrt{2}(-10\sqrt{3}-2\sqrt{5}+45\sqrt{2}+3\sqrt{30}) = -10\sqrt{6}-2\sqrt{10}+45(2)+3\sqrt{60} = -10\sqrt{6}-2\sqrt{10}+90+3(2\sqrt{15}) = -10\sqrt{6}-2\sqrt{10}+90+6\sqrt{15}$

したがって、$90-10\sqrt{6}-2\sqrt{10}+6\sqrt{15}$

3. 最終的な答え

$90 - 10\sqrt{6} - 2\sqrt{10} + 6\sqrt{15}$