与えられた式 $\frac{\sqrt{2}+1}{\sqrt{2}-1} + \frac{\sqrt{2}-1}{\sqrt{2}+1}$ を計算し、その結果を求めます。

1. 問題の内容

与えられた式 $\frac{\sqrt{2}+1}{\sqrt{2}-1} + \frac{\sqrt{2}-1}{\sqrt{2}+1}$ を計算し、その結果を求めます。

2. 解き方の手順

まず、各分数の分母を有理化します。

最初の分数 $\frac{\sqrt{2}+1}{\sqrt{2}-1}$ の分母を有理化するために、分母と分子に $\sqrt{2}+1$ を掛けます。

$$\frac{\sqrt{2}+1}{\sqrt{2}-1} = \frac{(\sqrt{2}+1)(\sqrt{2}+1)}{(\sqrt{2}-1)(\sqrt{2}+1)} = \frac{(\sqrt{2}+1)^2}{2-1} = \frac{2 + 2\sqrt{2} + 1}{1} = 3 + 2\sqrt{2}$$

次の分数 $\frac{\sqrt{2}-1}{\sqrt{2}+1}$ の分母を有理化するために、分母と分子に $\sqrt{2}-1$ を掛けます。

$$\frac{\sqrt{2}-1}{\sqrt{2}+1} = \frac{(\sqrt{2}-1)(\sqrt{2}-1)}{(\sqrt{2}+1)(\sqrt{2}-1)} = \frac{(\sqrt{2}-1)^2}{2-1} = \frac{2 - 2\sqrt{2} + 1}{1} = 3 - 2\sqrt{2}$$

次に、有理化した2つの分数を足し合わせます。

$$(3 + 2\sqrt{2}) + (3 - 2\sqrt{2}) = 3 + 2\sqrt{2} + 3 - 2\sqrt{2} = 6$$

3. 最終的な答え

6