6次対称群 $S_6$ の元 $\sigma = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ 2 & 4 & 5 & 6 & 1 & 3 \end{pmatrix}$ と $\tau = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ 6 & 1 & 5 & 3 & 4 & 2 \end{pmatrix}$ に対して、以下の問いに答える。 (1) $\tau\sigma$ を求めよ。 (2) $\sigma^{-1}$ を求めよ。 (3) $\sigma$ を互換の積で表せ。 (4) $sgn(\sigma)$ を求めよ。

1. 問題の内容

6次対称群 $S_6$ の元 $\sigma = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ 2 & 4 & 5 & 6 & 1 & 3 \end{pmatrix}$ と $\tau = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ 6 & 1 & 5 & 3 & 4 & 2 \end{pmatrix}$ に対して、以下の問いに答える。

(1) $\tau\sigma$ を求めよ。

(2) $\sigma^{-1}$ を求めよ。

(3) $\sigma$ を互換の積で表せ。

(4) $sgn(\sigma)$ を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) $\tau\sigma$ を求める。$\tau\sigma$ は $\sigma$ を行った後に $\tau$ を行うことを意味する。

まず、$\sigma$ によって 1 は 2 に移り、$\tau$ によって 2 は 1 に移るので、$\tau\sigma$ によって 1 は 1 に移る。

次に、$\sigma$ によって 2 は 4 に移り、$\tau$ によって 4 は 3 に移るので、$\tau\sigma$ によって 2 は 3 に移る。

同様に計算すると

3 $\rightarrow$ 5 $\rightarrow$ 4

4 $\rightarrow$ 6 $\rightarrow$ 2

5 $\rightarrow$ 1 $\rightarrow$ 6

6 $\rightarrow$ 3 $\rightarrow$ 5

となる。したがって、$\tau\sigma = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ 1 & 3 & 4 & 2 & 6 & 5 \end{pmatrix}$

(2) $\sigma^{-1}$ を求める。$\sigma^{-1}$ は $\sigma$ の逆置換である。$\sigma = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ 2 & 4 & 5 & 6 & 1 & 3 \end{pmatrix}$ であるから、$\sigma^{-1} = \begin{pmatrix} 2 & 4 & 5 & 6 & 1 & 3 \\ 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \end{pmatrix}$ となる。上段を小さい順に並び替えると、$\sigma^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ 5 & 1 & 6 & 2 & 3 & 4 \end{pmatrix}$

(3) $\sigma$ を互換の積で表す。

$\sigma = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ 2 & 4 & 5 & 6 & 1 & 3 \end{pmatrix}$ を巡回置換で表すと $\sigma = (1\ 2\ 4\ 6\ 3\ 5)$ となる。

巡回置換は互換の積で表すことができる。$(1\ 2\ 4\ 6\ 3\ 5) = (1\ 2)(2\ 4)(4\ 6)(6\ 3)(3\ 5)$

(4) $sgn(\sigma)$ を求める。

$\sigma$ は長さ6の巡回置換なので、長さ5の互換の積で表せる。

$sgn(\sigma) = (-1)^5 = -1$

3. 最終的な答え

(1) $\tau\sigma = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ 1 & 3 & 4 & 2 & 6 & 5 \end{pmatrix}$

(2) $\sigma^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ 5 & 1 & 6 & 2 & 3 & 4 \end{pmatrix}$

(3) $\sigma = (1\ 2)(2\ 4)(4\ 6)(6\ 3)(3\ 5)$

(4) $sgn(\sigma) = -1$