$a > 0$ の条件の下で、$\sqrt[6]{a^5} \times \sqrt[3]{a^2} \div \sqrt[4]{a^3} = a^x$ を満たす $x$ を求めよ。

1. 問題の内容

$a > 0$ の条件の下で、$\sqrt[6]{a^5} \times \sqrt[3]{a^2} \div \sqrt[4]{a^3} = a^x$ を満たす $x$ を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、与えられた式を指数を用いて書き換えます。

$\sqrt[6]{a^5} = a^{\frac{5}{6}}$

$\sqrt[3]{a^2} = a^{\frac{2}{3}}$

$\sqrt[4]{a^3} = a^{\frac{3}{4}}$

したがって、与えられた式は次のようになります。

$a^{\frac{5}{6}} \times a^{\frac{2}{3}} \div a^{\frac{3}{4}} = a^x$

指数の法則を用いて、左辺を計算します。

$a^{\frac{5}{6} + \frac{2}{3} - \frac{3}{4}} = a^x$

指数の部分を計算します。通分して計算すると、

$\frac{5}{6} + \frac{2}{3} - \frac{3}{4} = \frac{10}{12} + \frac{8}{12} - \frac{9}{12} = \frac{10 + 8 - 9}{12} = \frac{9}{12} = \frac{3}{4}$

したがって、

$a^{\frac{3}{4}} = a^x$

よって、$x = \frac{3}{4}$ となります。

3. 最終的な答え

$\frac{3}{4}$