R^3において、与えられたベクトルが一次独立か一次従属かを調べる問題です。具体的には、以下の3つの組のベクトルについて調べます。 (a) $a_1 = \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{bmatrix}, a_2 = \begin{bmatrix} 3 \\ 5 \\ 3 \end{bmatrix}, a_3 = \begin{bmatrix} 1 \\ 3 \\ 2 \end{bmatrix}$ (b) $b_1 = \begin{bmatrix} 1 \\ 3 \\ 2 \end{bmatrix}, b_2 = \begin{bmatrix} 3 \\ 7 \\ 4 \end{bmatrix}, b_3 = \begin{bmatrix} 2 \\ 5 \\ 3 \end{bmatrix}$ (c) $c_1 = \begin{bmatrix} 2 \\ 4 \\ 1 \end{bmatrix}, c_2 = \begin{bmatrix} 3 \\ 1 \\ 2 \end{bmatrix}, c_3 = \begin{bmatrix} 5 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix}, c_4 = \begin{bmatrix} 2 \\ 0 \\ 3 \end{bmatrix}$

1. 問題の内容

R^3において、与えられたベクトルが一次独立か一次従属かを調べる問題です。具体的には、以下の3つの組のベクトルについて調べます。

(a) $a_1 = \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{bmatrix}, a_2 = \begin{bmatrix} 3 \\ 5 \\ 3 \end{bmatrix}, a_3 = \begin{bmatrix} 1 \\ 3 \\ 2 \end{bmatrix}$

(b) $b_1 = \begin{bmatrix} 1 \\ 3 \\ 2 \end{bmatrix}, b_2 = \begin{bmatrix} 3 \\ 7 \\ 4 \end{bmatrix}, b_3 = \begin{bmatrix} 2 \\ 5 \\ 3 \end{bmatrix}$

(c) $c_1 = \begin{bmatrix} 2 \\ 4 \\ 1 \end{bmatrix}, c_2 = \begin{bmatrix} 3 \\ 1 \\ 2 \end{bmatrix}, c_3 = \begin{bmatrix} 5 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix}, c_4 = \begin{bmatrix} 2 \\ 0 \\ 3 \end{bmatrix}$

2. 解き方の手順

ベクトルが一次独立かどうかを調べるには、それらのベクトルを列ベクトルとする行列を作り、その行列の行列式を計算します。行列式が0でなければ一次独立であり、0であれば一次従属です。ただし、ベクトルが4つある場合は、必ず一次従属になります。なぜなら、$R^3$ の基底は3つのベクトルで構成されるからです。

(a) ベクトル $a_1, a_2, a_3$ からなる行列の行列式を計算します。

$\begin{vmatrix} 1 & 3 & 1 \\ 2 & 5 & 3 \\ 1 & 3 & 2 \end{vmatrix} = 1(5\cdot2 - 3\cdot3) - 3(2\cdot2 - 3\cdot1) + 1(2\cdot3 - 5\cdot1) = 1(10-9) - 3(4-3) + 1(6-5) = 1 - 3 + 1 = -1$

行列式が-1なので、一次独立です。

(b) ベクトル $b_1, b_2, b_3$ からなる行列の行列式を計算します。

$\begin{vmatrix} 1 & 3 & 2 \\ 3 & 7 & 5 \\ 2 & 4 & 3 \end{vmatrix} = 1(7\cdot3 - 5\cdot4) - 3(3\cdot3 - 5\cdot2) + 2(3\cdot4 - 7\cdot2) = 1(21-20) - 3(9-10) + 2(12-14) = 1 + 3 - 4 = 0$

行列式が0なので、一次従属です。

(c) ベクトル $c_1, c_2, c_3, c_4$ は4つあるので、 $R^3$ では必ず一次従属です。

3. 最終的な答え

(a) 一次独立

(b) 一次従属

(c) 一次従属