与えられた不等式 $\frac{2x+1}{5} \geq \frac{5-x}{3}$ の解を求め、さらに $|x-3| \leq 5$ および $3x-5 \leq 2x-6+a$ と組み合わせたときの条件を満たす $x$ の範囲、および $a$ の範囲を求める問題です。

1. 問題の内容

与えられた不等式 $\frac{2x+1}{5} \geq \frac{5-x}{3}$ の解を求め、さらに $|x-3| \leq 5$ および $3x-5 \leq 2x-6+a$ と組み合わせたときの条件を満たす $x$ の範囲、および $a$ の範囲を求める問題です。

2. 解き方の手順

(ア) 不等式 $\frac{2x+1}{5} \geq \frac{5-x}{3}$ を解きます。

両辺に15を掛けると

$3(2x+1) \geq 5(5-x)$

$6x+3 \geq 25-5x$

$11x \geq 22$

$x \geq 2$

(イ) 不等式 $|x-3| \leq 5$ を解きます。

$-5 \leq x-3 \leq 5$

$-2 \leq x \leq 8$

アで求めた解 $x \geq 2$ と合わせて $2 \leq x \leq 8$

(ウ) 不等式 $3x-5 \leq 2x-6+a$ を解きます。

$x \leq a - 1$

アで求めた $x \geq 2$ と合わせて $2 \leq x \leq a-1$

$x$ が整数でちょうど4個存在するという条件から、$x = 2, 3, 4, 5$ となる必要があり、 $6$ は含まれてはならない。

$5 \leq a-1 < 6$

$6 \leq a < 7$

3. 最終的な答え

ア：$x \geq 2$

イ：$2 \leq x \leq 8$

ウ：$6 \leq a < 7$