媒介変数 $t$ で表された曲線 $x = \frac{1-t^2}{1+t^2}$, $y = \frac{4t}{1+t^2}$ について、$t = \tan{\theta}$ とおいたとき、この曲線が $xy$ 平面上でどのような曲線を表すかを求める。

1. 問題の内容

媒介変数 $t$ で表された曲線 $x = \frac{1-t^2}{1+t^2}$, $y = \frac{4t}{1+t^2}$ について、$t = \tan{\theta}$ とおいたとき、この曲線が $xy$ 平面上でどのような曲線を表すかを求める。

2. 解き方の手順

まず、$t = \tan{\theta}$ を与えられた式に代入する。

$x = \frac{1-\tan^2{\theta}}{1+\tan^2{\theta}}$, $y = \frac{4\tan{\theta}}{1+\tan^2{\theta}}$

三角関数の公式を利用して式を簡略化する。

$1 + \tan^2{\theta} = \frac{1}{\cos^2{\theta}}$ より、

$x = \frac{1-\tan^2{\theta}}{1+\tan^2{\theta}} = (1-\tan^2{\theta})\cos^2{\theta} = \cos^2{\theta} - \sin^2{\theta} = \cos{2\theta}$

$y = \frac{4\tan{\theta}}{1+\tan^2{\theta}} = 4\tan{\theta}\cos^2{\theta} = 4\sin{\theta}\cos{\theta} = 2(2\sin{\theta}\cos{\theta}) = 2\sin{2\theta}$

したがって、$x = \cos{2\theta}$, $y = 2\sin{2\theta}$ となる。

ここで、$x^2$ と $\frac{y^2}{4}$ を計算し、足し合わせる。

$x^2 = \cos^2{2\theta}$, $\frac{y^2}{4} = \sin^2{2\theta}$

よって、$x^2 + \frac{y^2}{4} = \cos^2{2\theta} + \sin^2{2\theta} = 1$

これは楕円の式である。

3. 最終的な答え

$\frac{x^2}{1^2} + \frac{y^2}{2^2} = 1$ なので、x軸方向に半径1, y軸方向に半径2の楕円である。

したがって、$xy$平面上で楕円を表す。

最終的な答え：楕円