次の関数のグラフの概形を描き、極小値、極大値、漸近線を求める問題です。ここでは、(4), (5), (6) のうち、(4) $y = f(x) = 2x^3 - 9x^2 + 12x - 5$、(5) $y = f(x) = \sqrt{x} - \frac{1}{\sqrt{x}}$、(6) $y = f(x) = 2x + 1 + \frac{2}{x+1}$ を解きます。

1. 問題の内容

次の関数のグラフの概形を描き、極小値、極大値、漸近線を求める問題です。ここでは、(4), (5), (6) のうち、(4) $y = f(x) = 2x^3 - 9x^2 + 12x - 5$、(5) $y = f(x) = \sqrt{x} - \frac{1}{\sqrt{x}}$、(6) $y = f(x) = 2x + 1 + \frac{2}{x+1}$ を解きます。

2. 解き方の手順

(4) $y = f(x) = 2x^3 - 9x^2 + 12x - 5$

まず導関数を求めます。

$f'(x) = 6x^2 - 18x + 12 = 6(x^2 - 3x + 2) = 6(x-1)(x-2)$

$f'(x) = 0$ となるのは $x=1, 2$ です。

$f''(x) = 12x - 18$

$f''(1) = 12 - 18 = -6 < 0$ なので $x=1$ で極大値をとります。

$f''(2) = 24 - 18 = 6 > 0$ なので $x=2$ で極小値をとります。

$f(1) = 2 - 9 + 12 - 5 = 0$

$f(2) = 2(8) - 9(4) + 12(2) - 5 = 16 - 36 + 24 - 5 = -1$

よって、極大値は $f(1) = 0$、極小値は $f(2) = -1$ です。

三次関数なので漸近線はありません。

(5) $y = f(x) = \sqrt{x} - \frac{1}{\sqrt{x}}$

定義域は $x > 0$ です。

$f(x) = x^{1/2} - x^{-1/2}$

$f'(x) = \frac{1}{2}x^{-1/2} + \frac{1}{2}x^{-3/2} = \frac{1}{2\sqrt{x}} + \frac{1}{2x\sqrt{x}} = \frac{x+1}{2x\sqrt{x}}$

$f'(x) = 0$ となる $x$ は存在しません。

$x>0$ で $f'(x) > 0$ なので、単調増加です。

$f''(x) = -\frac{1}{4}x^{-3/2} - \frac{3}{4}x^{-5/2} = -\frac{1}{4x\sqrt{x}} - \frac{3}{4x^2\sqrt{x}} = -\frac{x+3}{4x^2\sqrt{x}}$

$x > 0$ で $f''(x) < 0$ なので、常に上に凸です。

$x \to 0$ のとき $f(x) \to -\infty$

$x \to \infty$ のとき $f(x) \to \infty$

よって、漸近線は $x=0$ です。極値はありません。

(6) $y = f(x) = 2x + 1 + \frac{2}{x+1}$

定義域は $x \ne -1$ です。

$f'(x) = 2 - \frac{2}{(x+1)^2} = \frac{2(x+1)^2 - 2}{(x+1)^2} = \frac{2(x^2 + 2x + 1) - 2}{(x+1)^2} = \frac{2x^2 + 4x}{(x+1)^2} = \frac{2x(x+2)}{(x+1)^2}$

$f'(x) = 0$ となるのは $x=0, -2$ です。

$f''(x) = \frac{4}{(x+1)^3}$

$f''(-2) = \frac{4}{(-1)^3} = -4 < 0$ なので $x=-2$ で極大値をとります。

$f''(0) = \frac{4}{(1)^3} = 4 > 0$ なので $x=0$ で極小値をとります。

$f(-2) = 2(-2) + 1 + \frac{2}{-2+1} = -4 + 1 - 2 = -5$

$f(0) = 2(0) + 1 + \frac{2}{0+1} = 1 + 2 = 3$

よって、極大値は $f(-2) = -5$、極小値は $f(0) = 3$ です。

$x \to -1$ のとき $f(x) \to \infty$ または $f(x) \to -\infty$ なので、漸近線は $x = -1$ です。

また、$f(x) - (2x+1) = \frac{2}{x+1} \to 0$ (as $x \to \pm\infty$) なので $y = 2x+1$ も漸近線です。

3. 最終的な答え

(4)

極大値: $f(1) = 0$

極小値: $f(2) = -1$

漸近線: なし

(5)

極値: なし

漸近線: $x=0$

(6)

極大値: $f(-2) = -5$

極小値: $f(0) = 3$

漸近線: $x = -1$, $y = 2x+1$